有理数 分数
图1-5
【整数和分数是什么关系？】 可见，整数不是分数。由于“整数”与“分数”的外延是互相排斥的。并且它们的并集就是邻近的属概念“有理数”的外延。所以“整数”与“分数”这两个概念间的关系是矛盾关系。如图1-5所示。
参考书：《逻辑与小学数学教学》 P32。
20 . 说“自然数1不同于单位1”对吗？任何一个物体都可以作为自然数“1”的现实原型。哪些物体还可以作为分数定义中的单位“1”的现实原型？
【自然数的纯逻辑定义】 “1”是非零自然数中最小的一个，是自然数的最基本的单位。任何一个非零自然数都是由若干个“1”组合而成的。德国数学家弗雷格（F.L.G. Fregep.220 1848—1925）首创由逻辑出发来定义自然数时，首先把空集?定义为不与本身等同的事物组成的集：
??{x|x?x}
因为任何事物都等同于本身，所以，不与本身等同的事物是不存在的。空集就是由这类不存在的事物组成的集合。自然数0被定义为空集的基数，即与空集等价的一切集合组成的集：
0?{B|B~?}
所以，0是一个数。{0}是以0为元素的集合。自然数1被定义为与{0}等价的一切集合组成的集：
1?{B|B~{0}}
然后，在此基础上进一步定义自然数2，以及其它自然数：
2?{B|B~{0,1}} 3?{B|B~{0, 1, 2}}
【自然数作为有限集的共同性质的抽象】 小学数学教科书根据小学生的心理特点，把每一个自然数作为可以建立一一对应的有限集合的共同性质从中抽象概括出来。如自然数“5”就是从画面上的五位解放军、五匹战马、五支冲锋枪，以及五根小棒、五粒算珠、五颗五角星等事物集合中，作为它们的共同点——“都是5个”而抽象概括出来的。每一个自然数都可以作为对一类可以建立一一对应的有限集进行同一性抽象的结果。每一个这样的有限集，都是这个自然数的现实原型。
【说“自然数1不同于单位1”对吗？】 作为自然数“1”的现实原型，可以是一个苹果，也可以是一堆苹果。这个苹果或这堆苹果都可以平均分为若干份，而用分数表示其中的一份或几份。它们也是分数定义中所说的平均分的对象，也是“单位1”的现实原型。分数定义中所说的“单位1”，实质上就是“自然数1”。说“自然数1不同于单位1”是不对的。不过“自然数1”和分数定义中的“单位1”的
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现实原型仍然有一些不容忽视的差异。任何一个物体都可以作为“自然数1”的现实原型。但作为分数定义中的“单位1”的现实原型，应该受到更多的条件限制。如一块蛋糕可以平均分给两位小朋友，每人分得这块蛋糕的二分之一。但一只小白兔无法平均分给两位小朋友。类此，一辆汽车也不能平均分为两份，但一辆汽车的价格可以由两人平均分摊。把一个班的学生平均分为几个小组受到全班人数的制约，平均分成的份数只能是全班人数的约数。
但现实原型的差异不能作为“自然数1”不同于“单位1”的理由。当我们把“单位1”平均分为两份，而用
1表示每一份后，自然有 211+=1 22我们能说：这个等式中的“1”是“单位1”、但不是“自然数1”吗？ 参考书：《中国大百科全书 数学》 P220
21 . 说“分数可以分为真分数、假分数与带分数”对吗？
分数可以按照不同的标准来分类。如按照分子与分母有没有1以外的公约数，可以把分数分为可约分数和最简分数。分子与分母有1以外的公约数的分数叫做可约分数；分子与分母没有1以外的公约数的分数叫做最简分数（又称既约分数）。还可以按照分子是否小于分母分为真分数和假分数。分子小于分母的分数叫真分数；分子不小于分母（即分子大于或等于分母）的分数叫做假分数。
可约分数 真分数 分数 分数 最简分数 假分数 ┆ ┆
根据分子 根据分子与分母有
是否小于 没有1以外的公约数
在分数的后一种分类中，分类的结果应该是两个子项——真分数与假分数。它们的外延的和（即外延的并集）等同于分数的处延。因此，不应该再有其它的子项。因此，说“分数可以分为真分数、假分数与带分数”是不对的。
此外，根据定义，“带分数”是“一个整数和一个真分数合成的数”。实际上是一个整数与一个真分数的和，而不是一个分数。怎能成为分数分类的一个子项呢？
22 . 说“假分数的分子大于分母”错在哪里？
根据小学数学对假分数所下的定义，分子等于或大于分母的分数叫做假分数。可见，假分数有两类：分子大于分母的假分数和分子等于分母的假分数。如果一个分数是假分数，那么它的分子大于分母或者分子等于分母。这时，我们可以根据一个“分数是假分数”推出“它的分子大于分母或者分子等于分母”。但我们推不出“分子大于分母”，也推不出“分子等于分母”。
正如根据ab=0 推不出a=0，也推出b=0，只能推出a=0或b=0。这样看来，说“假分数的分子大于分母”可能犯了“推不出”的逻辑错误。
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此外，这样说也可能是由于对“假分数”的定义有误解，把假分数误认为是“分子大于分母的分数”，犯了“定义过窄”的逻辑错误。
根据现代数学对分数所下的定义，有理数
pp当q|p时是整数；q p时是分数。因此p?q时，=1qq是整数；p＞q时，q p时才是分数。所以说“假分数的分子大于分母”还是正确的。
23 . “分数单位”和“单位分数”、“最简分数”和“既约分数”有没有区别？
【分数单位】 分数
p11p1是由p个组成的，叫做的分数单位，分数单位的实际含义就是把qqqqq41111 的单位是，而的单位是，因此，分数单位7766单位“1”平均分成q份中的一份。
分数的分母不同，分数单位也就不同。例如，不是一个固定的数，分母越大，分数单位就越小。
最大的分数单位是
11111，比小的分数单位有,,,??，没有最小的分数单位。 22345【单位分数】 每个分数单位本身也是一个分数，这些分子是1分母是正整数的分数，也叫单位分数。
【最简分数】【既约分数】 分子与分母互质的分数叫最简分数，也叫既约分数。“最简”是从化简的角度提出的要求，“既约”是从约分的角度给出的标准。分数要化简，分子、分母就得约分，分子、分母约分的目的是化简分数。两者最终统一到“分子与分母互质”这一点上。
有人建议把“最简分数”的定义修改为“分子、分母是互质数、并且分子小于分母的分数”。 最简分数的概念是为约分提供最终结果的标准，按修改后的定义，约分后最终结果出现假分数时就必须化为带分数，而带分数不便于进行分数的乘除运算。
从理论上讲，带分数指的是一个自然数与一个真分数的和，在进一步学习数学和其他科学技术时并不是必不可少的，国内外有些小学数学教科书甚至根本就不给出带分数的概念。因此，最简分数的定义还是表述为“分子与分母互质的分数叫最简分数”为宜。
24 . 百分数是不是一种数？“百分数就是分母是100的分数”对吗？“百分数”、“百分比”和“百分率”有什么不同？“成数”、“千分数”、ppm、bpm各指什么？
【百分数】 【百分比】 【百分率】 表示一个数是另一个数（或一个量是另一个同类量）的百分之几的数叫做百分数。百分数通常用来表示两个数（或两个同类量）的比，所以又叫“百分比”或“百分率”。
百分数实质上是一个分母是100、分子是整数或小数的分数。如的、分母是100的分数通常写成71%、2.25%。1%即
712.25、等。这些用于特定场合1001001是百分数的单位。在20世纪50年代前，百分100数有时也被定义为分母是100的分数。这样的定义不能突出它用来表示两个数（或两个同类量）的倍比
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关系的专门用途。
百分数与分数的区别在于：分数既可以表示两个数或两个同类量的倍比关系，也可以用来表示具体的数量。而百分数只用于表示两个数量的倍比关系。
与“百分数”类似的还有“成数”、“千分数”，ppm和bpm。
【成数】 农业的收成或其增减常用“成数”表示。“几成”就是十分之几。如江苏省城镇居民的收入2005年比2001年增长6成7，即增长
6.7，也就是67%。 1037记为1000【千分数】 表示一个数是另一个数的千分之几的数叫做千分数。如“千分之三十七”即37?。千分数的单位是千分之一，即1?。
【ppm和bpm】 在科学技术上，为了表示微量元素的含量，还用到更小的单位“百万分之一”（即ppm）和“十亿分之一”（即bpm）。
25 . 自然数大小的“基数意义”和“序数意义”有什么区别和联系？怎样证明自然数没有最大的？
【自然数大小的基数意义】 每个自然数都是所有可以建立一一对应的有限集组成的集，或者说是一类可以建立一一对应的有限集的共同性质。（参看本书P. 1 ）。
设A、B是两个有限集，a、b是它们的基数，即
a?A，b?B
则自然数a、b的大小可作如下规定：如果有集合A'?''AA，并且~B即A有一个真子集和B等价，则a??＞b；如果有集合B?B,A~B'（即B有一个真子集和A等价），则a＜b；如果A~B，则a=b。因为空集
是任何一个非空有限集的真子集，所以空集的基数0小于任何一个非空有限集的基数（即零小于任何一个零以外的自然数）。小学教科书在解释两个数的大小的意义时，和上面的定 义实质上是一致的。如下图所示。
☆ ☆ ☆ ☆
┆ ┆ ┆ ┆ ☆ 和 ★ 同样多。 ★ ★ ★ ★
4 = 4 读作：4等于4 ┆ 等号
○ ○ ○ ○ ○ ┆ ┆ ┆ ● ● ●
○ 比 ● 多。 ● 比 ○ 少。
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5＞3 读作：5大于3。 3＜5读作：3小于5。 ┆ ┆ 大于号 小于号
【自然数大小的序数意义】 在自然数的序数理论中，自然数的大小是根据它们在自然数列中的前后位置来定义的。
根据皮安诺公理②，“0不是任何其它自然数的继数。”（参看本书P.2）。所以0应该排在自然数列的最前面，是所有自然数中最小的一个。
根据皮安诺公理③，“每一个自然数a都有一个继数”，（参看本书P.2），所以对于自然数列中的任何一个数来说，都有比它大的自然数。进而推出：自然数没有最大的；自然数列是无限的。
自然数大小的以上两种意义虽然说法不同，但实质上是不矛盾的。
26. 为什么0是最小的自然数，但不是最小的一位数？
“0是最小的自然数”是根据皮安诺公理②“0不是任何其它自然数的继数”推出的结论。（参看本书P.2），也可以根据“空集是任何一个非空有限集的真子集”推出。
但由于0不是一位数（参看本书P.12），所以也就不可能是最小的一位数。
27 . 怎样构造最小的（或最大的）一位数，两位数，三位数，…，n位数？
在一位数1，2，?，9中，显然，最小的是1，最大的是9。
两位数有两个有效数字，有效数字的最高位是十位。当十位是“1”，个位是“0”时，两位数最小；当个位与十位都是“9”时两位数最大。即两位数中最小的是10，最大的是99。
从两位数在自然数列中的排列
10，11，12，?，99
也可以看出：在两位数中，最小是10，最大的是99。
同理，三位数的有效数字的最高位是百位。当百位是“1”，十位与个位都是“0”时三位数最小，当百位、十位与个位都是“9”时三位数最大。以下类推。
一般地说，在n位数中，最小的是10在这些数之间还存在下面的关系：
最小的n位数=最大的n－1位数＋1 最大的n位数=最小的n＋1位数－1
n?1，即100?0；最大的是10?1，即99?9。 ??????n?1个\n个\9\n28 . 为什么多位数大小的比较法则推广到小数大小的比较后，只适用于有限小数，不适用于无限小数？0.59＜0.6对吗？
【多位数大小的比较】 多位数大小的比较法则如下： （1）如果两个多位数的位数不同，则位数多的数较大；
（2）如果两个多位数的位数相同，则最高位上的数较大的数较大；
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