p21?2???222? ????nx?ny?nz, nx,ny,nz?0,?1,?2? 2m2m?L?2????有 p?2U 3V 上述结论对于玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 8.2 根据公式p???all??l证明，对于相对论粒子 ?V12??2222?nx?ny?nz?, nx,ny,nz?0,?1,?2? ??cp?cL??有 p?U 3V上述结论对玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 8.3 根据公式p???all??ls证明，对于能谱关系为???p(s?1,2)的粒子组成的n维理想?VsU n气体，其内能和压强间存在关系 pV(n)?n式中V(n)?L是n维理想气体的“体积”。上述结论对玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。
8.4 试证明，对于遵从玻耳兹曼分布的定域系统，熵函数可以表示为
S??Nk?PslnPs，
se?????se???sP?式中P,?是对粒子的所有量子态s?s是粒子处在量子态s的概率，
NZ1s求和。
对于满足经典极限条件的非定域系统，熵的表达式有何不同? （答案：S??Nk?PlnP?Nk）
sss8.5 固体含有A、B两种原子，试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为
N!??Nk?xlnx??1?x?ln?1?x??
?Nx??!N(1?x)?!其中N是总原子数，x是A原子的百分比，(1-x)是B原子的百分比注意x?1。上式给出的熵
S?kln为正值。
8.6 （1）对于三维非相对论理想气体，粒子能量的可能值为
p21?2???222? ????nx?ny?nz， nx,ny,nz?0,?1,?2? 2m2m?L?2????试由粒子的量子能级出发，求单原子分子的平动配分函数。
（2）由于粒子的平动动能总是连续的，试从粒子的态密度出发，求单原子分子的平动配分函数。
15
8.7 考虑一极端相对论性理想气体，粒子的静止质量可以忽略。粒子的能量动量关系为??cp，其中c为光速，粒子的内部运动已忽略。试求： （1）粒子的配分函数；
（2）气体的物态方程、内能和熵； （3）可逆绝热过程的过程方程。
?2?mkT?（答案：Z1?V??） 2h??32?8?VNkT8?V（答案：（1）Z1?；（2）p?，U?3NkT，S?Nkln?V(?hc)3??N?kT????hc?3?（3）??4Nk；
??pV?=常数，式中??4） 3s8.8考虑由能谱关系为???p(?为一常数，s?1,2)的粒子组成的n维经典理想气体， （1）试求粒子的配分函数；
（2）试求气体的物态方程和内能； （3）证明气体的内能和压强间存在关系 pV(n)?nsU nns式中V(n)?L是n维理想气体的“体积”。
?1?（答案：（1）Z1?BV(n)?????ns1?n??1????，式中B?nCn??h?s????nNkTnU?NkT）；（2）p?，
sV(n)s8.9 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气体。是写出在二维理想气体中分子的速度分布和速率分布。并求平均速率v和方均根速率vrms。
m22m2?vx?vy??v??kT2kTmm??2kT)e2kTdvxdvy；2?N?v?v?（答案：N(；；） evdvrms?2?kT2mm?2?kT?????8.10 试根据麦氏速度分布律导出两分子的相对速度vr?v2?v1和相对速率vr?vr的概率分布，
并求相对速率的平均值vr。
8.11 试证明，单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于v~v?dv之间的分子数为
v2m32?2mkT)ev3dv d???n(2?kT8.12 分子从器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率、方均根速率和平均能量。 （答案：v?9?kT4kT12；vrms?；mv?2kT）
28mm8.13已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为
122px?py?pz2?ax2?bx 2mb2其中a、b是常数，求粒子的平均能量。（答案：??2kT?）
4a????8.14 试求双原子分子理想气体的振动熵。
16
（答案：Sv?Nk???v?1?Nkln1?e?vT） ??vT?T?e?1??8.15 对于双原子分子，常温下kT远大于转动的能级间距。试求双原子分子理想气体的转动熵。 （答案：Nk?NklnT?r）
8.16 试求二维谐振子的配分函数及平均能量。 （1）如果谐振子是经典的；
（2）如果谐振子是量子的，其能级和简并度分别为： ?n?(n?1)?,n?1,2, ?n?(n?1)
?1?e??????1（答案：（1）Z1??，； （2），） ??2kT??2??Z??1?????2??e?1?(1?e)?2????
2第九章 玻色统计和费米统计
9.1 试证明，对于理想玻色或费米系统， S?kln?
9.2 试证明，理想玻色或费米系统的熵可以表示为 SB.E.??k???fsslnfs??1?fs?ln?1?fs???
SF.D.??k??fslnfs??1?fs?ln?1?fs??
s其中fs为量子态s上的平均粒子数，
?s对粒子的所有量子态求和。并证明当fs??1时，有
SB.E.?SF.D.?SM.B.??k??fsslnfs?fs?
9.3 求弱简并理想费米(玻色)气体的压强公式。
32?1N?h2??（答案：p?nkT?1?52???）
2gV2?mkT??????
9.4 试证明一维和二维理想玻色气体不存在玻色凝聚现象。 9.5试根据普朗克公式求平衡辐射内能密度按波长的分布：
u?d??8?hcd?hce?1
并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长?m满足方程：
?kT?517
5e?x?5，
其中x?hc?mkT。这个方程的数值解为x?4.9651，因此 ?mT?hc4.9651k
?x?m随温度增加向短波方向移动。
9.6 太阳辐射的光谱分布和黑体辐射非常接近，每单位波长的最大强度出现在480nm处。问：太阳的表面温度是多少？ （答案：6000K）
9.7 试求光子气体巨配分函数的对数，并由此求内能U、辐射压强p、熵S、自由能F和吉布斯函数。并说明此时的G能否作特性函数。
?2V?1??2k4?2k444?2k443U?VTS?VTp?T（答案：ln??；；；；??333333345c???15c45c45cF??3?2k445c33VT4；G?0）
9.7 试推导二维空间平衡辐射的普朗克公式，并由此导出二维空间黑体辐射的斯特藩—玻耳兹曼
定律。
A?2d?9.6?k33（答案：U(?,T)d??；u(T)?T） 2??2?ce?1(ch)9.8银的传导电子密度为5.9×10/m。试求0K时电子的费米能级、费米速率和电子气体的简并
压。
10（答案：?F?5.6eV；vF?1.4?106m?s；p?2.1?10Pa）
-128
3
9.9 利用上题结果计算T?300K时银中电子气体的化学势?的一级修正。 （答案：???10?4eV）
9.10 试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率。 （答案：v?3pF，pF是费米动量） 4m139.11 试求在极端相对论条件下，自由电子气体在0K时的费米能量、内能和简并压。
31?3n?-1U?N?(0)p?n?(0)） m?s（答案：?(0)??；；?44?8??9.12 假设自由电子在二维平面上运动，面密度为n。试求0K时二维电子气体的费米能量、内能
和简并压。
11h2n；U?N?(0)m?s-1；p?n?(0)） （答案：?(0)?224?mC9.13 试根据热力学公式S??VdT及低温下的热容量，求低温下金属中自中电子气体的熵。
T?2kT（答案：S?Nk）
2?(0)9.14 试求低温下金属中自由电子气体的巨配分函数的对数，并由此求电子气体的内能U、压强p和熵S。
18
16?V?2m?（答案：ln????15h3???32(??)52?5?2??1?2?） ?8??第十章 系综理论
10.1 证明在正则分布中熵可以表为 S??k其中?s???ssln?s
1??Ese是系统处在s态的概率。 Z10.2 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程、内能和熵。
??2?mk?325?NkT33V（答案：p?，U?NkT，S?NklnT?Nkln?Nk?ln????） 2V22N2???h???10.3 体积V内盛有两种组元的单原子混合理想气体，组元A、B的粒子数分别为NA和NB，温度为T。试用正则分布导出混合理想气体的物态方程、内能和熵。
kT3，U?(NA?NB)kT， V2?V?2?mAkT?325??V?2?mBkT?325?S?NAk?ln?????NBk?ln????） 222?2??????NA?h??NB?h?10.4 由N个单原子分子组成的理想气体，粒子的能量动量关系为??cp，其中c为光速，试求
（答案：p?(NA?NB)气体的配分函数，并由此求物态方程、内能和熵。
3NkT1??kT??p?（答案：Z(N,T,V)?；；U?3NkT?8?V???VN!?hc??????8?V?kT?3?S?Nkln?????4Nk）
Nhc??????10.5 试用正则分布计算N个双原子分子组成的理想气体的物态方程、内能和熵。
?V?2?mkT?32?8?2IkT?7?NkT5（答案：p?，U?NkT，S?Nk?ln????） ??22V2??h?N?h??2??N；
10.6 试根据正则分布导出实际气体分子的速度分布。
m222??vx?vy?vz??m?2kT（答案：w?vx,vy,vz?dvxdvydvz???edvxdvydvz） ??2?kT?3210.7 试用巨正则分布求单原子分子理想气体的物态方程、内能、熵和化学势。
??2?mk?325?3NkT3V（答案：p?，U?NkT，S?NklnT?Nkln?Nk?ln???? 2222?VN??h???19
V?2?mkT????kTln??）
N?h2?3220