习题3.11.写出下列平面的方程:(1)过点M(1,1,1)且平行于平面?:-2x?y-z?1?0;(2)过点M1(1,2,0)和M2(2,1,1)且垂直于平面?:y?x?1?0;(3)过z轴且与平面2x?y-5z?0的夹角为?3.?解:(1)所求平面与?平行,故其法向量n???2,1,?1?,由点法式方程, 所求平面方程:?2(x?1)?(y?1)?(z?1)?0,即:2x?y?z?2?0?????(2)法一:设所求平面的法向量为n,则由已知条件n垂直于平面?的法向量n0?{?1,1,0}???ijk??????????? 与M1M2?{1,?1,1},?n??110?i?j1?11 由点法式方程,所求平面方程为(x?1)?(y?2)?0,即x?y?3?0法二:设所求平面方程为Ax+By+Cx+D=0将M1,M2的坐标代入,且由向量{A,B,C}与平面?A?2B?D?0???? ?的法向量n0?{?1,1,0}垂直得方程组?2A?B?C?D?0??A?B?0? 解得A?B?? -1313D,C?0,所求平面方程为Dy?D?0,即x?y?3?0.Dx?13(3)因平面过z轴,故可设其方程为Ax?By?0,因其与已知平面的夹角为?3,????? ?其法向量n?{A,B,0}与已知平面的法向量n0?{2,1,?5}的夹角为,3????n?n0?2A?B1???? ?cos???,2232||n||?||n0||10?A?B ?6A?16AB?6B22?0,即A?13B或?3B ?平面x?3y?0或3x-y?0为所求.2.下列图形有何特点?画出其图形. (1)2z?3?0;(2)y?0;(3)3x?4y?z?0.解:(1)平面平行于xOy面,图形如下图.
(2)与xOz面重合,图形如下图. (3)平面过原点,其图形如下图.3.由原点向平面作垂线,垂足为(x0,y0,z0),求此平面的方程.解:连结(x0,y0,z0)点与原点的向量{x0,y0,z0},可作为平面的法向量, 由平面的点法式方程得: x0(x?x0)?y0(y?y0)?z0(z?z0)?0,即 x0x?y0y?z0z?x0?y0?z0为所求平面方程.4.平面过点A(?2,3,0),B(1,?1,2)且与向量a?(4,5,1)平行,求此平面的方程.?????解法一:平面的法向量n与AB?{3,?4,2}与a垂直,???ijk???????? ?n?a?AB?451?14i?5j?31k,由点法式方程得3?42222 14(x?2)?5(y?3)?31z?0 即14x?5y?31z?43?0.解法二:设平面的一般式方程为Ax?By?Cz?D?0,将A,B坐标代入,?-2A?3B?D?0? 并由其法向量{A,B,C}与a垂直可得方程组?A?B?2C?D?0,?4A?5B?C?0?14?A?D?43?5? 解得?B??D.43?31?C??D?43?由此得平面方程:14x?5y?31z?43?0.5.求以平面xa?yb?zc?1与三坐标轴的交点为顶点的三角形面积.解法一:设原点为O,平面与坐标轴的三个交点为A,B,C,则四面体OABC的体积 V?16|abc|,平面ABC上的高为O到平面的距离d?11a2?1b2?1c2,
??ABC的面积 S?3Vd?12bc?ac?ab.222222解法二:设所求平面与三个坐标轴的交点为A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),???????? 则AB?{?a,b,0},AC?{?a,0,c},则?ABC的面积???ijk???????????111 S?||AB?AC||??ab0?||bci?acj?abk||222?a0c ?12bc?ac?ab2222226.平面?过点M(2,0,?8)且与二平面x?2y?4z?7?0,3x?5y?2z?3?0都垂直,求?的方程.???????解法一:所求平面的法向量n与两已知平面的法向量n1,n2都垂直,???ijk?????????? ?n?n1?n2?1?24??16i?14j?11k,35?2 由点法式方程得所求平面方程为 16(x-2)-14y-11(z?8)?0,即16x-14y-11z-120?0.解法二:设所求平面的一般式方程为Ax?By?Cz?D?0,将点M的坐标代入,?????? 由其法向量与两已知平面的法向量n1,n2垂直可得方程组16?A??D?120?14?解得?B?D120?11?C?D?120??2A?8C?D?0? ?A?2B?4C?0?3A?5B?2C?0??所求平面方程为16x?14y?11z?120?0
7.求由平面?1:x?3y?2z?5?0与?2:3x?2y?z?3?0所成二面角的平分面方程.解法一:设平面上任一点的坐标为(x,y,z),则由平面上任一点到两已知 平面的距离相等得: |x-3y?2z-5|14?13x?2y?z?3114, 从而得所求平面方程为: 2x?y?3z?8?0,或4x?5y?z?2?0.解法二:过平面?1,?2的交线的平面束方程为 (3??)x?(2?3?)y?(2??1)z?3?5??0.? 由于它为?1,?2的平分面,因此其法向量n与?1,?2的法向量有相等的夹角. 得 |(3??)?3(2?3?)?2(2?-1)||3(3??)?2(2?3?)?(2??1)|???14?||n||14?||n|| 解得??1或?1, 因此,所求平面方程为4x-5y?z-2?0或2x?y-3z?8?0.
习题3.41.对于直线?x?1??? l1:?y??1?2?,与l2?z???(1)证明:l1//l2;(2)求l1与l2的距离;(3)求l1与l2所确定的平面方程.??解:(1)l1的方向向量s1?{1,2,1},l2的方向向量???ijk???????? s2?2?10?{2,4,2},s2?2s1,01?2????? ?s1//s2,得l1//l2. (2)法一:在l2上找一点A(1,-3,0),过该点作垂直于l2的平面 (x?1)?2(y?3)?z?0,即x?2y?z?5?0, 将l1的参数方程代入 1???2?4????5?0, 解得???23,从而得平面与l1的交点?2x?y?5?0:??y?2z?3?0172 B(,-,-).333 则A与B的距离|AB|?233为所求.????法二:在l1上找一点C(1,?1,0),l2上找一点A(1,-3,0),设AC与l1的夹角为?,则???????s1?AC?421????? cos????,而sin??,||s1||?||AC||2663????2 则所求距离d?||AC||sin??3.3(3)法一:在l1上找一点C(1,?1,0),l2上找一点A(1,-3,0),则平面的法向量???ijk??????? n?s1?AC?121?{2,0,?2},0?20 由点法式方程得2(x-1)-2z?0,即x-z-1?0为所求. 法二:在l1上找两点C(1,?1,0),D(0,?3,?1),l2上找一点A(1,?3,0)