8.对于直线l1:x?73?y?44?z?3?2与l2:x?216?y?5?4?z?2?1(1)证明:它们不在同一平面上;(2)写出过l2且平行于l1的平面方程.解:(1)法一:l1,l2的参数式方程为?x??7?3???y??4?4??z??3?2???x?21?6??,?y??5?4?,?z?2?????7?3?1?21?6?2解???4?4?1??5?4?228???1??9得?,将?1,?2代入l1,l2的参数式方程知l1,l2无公共交点.28????2?9?而l1//l2,?l1与l2不在同一平面上.法二:l1,l2上分别取一点A(?7,?4,?3),B(21,?5,2)3?????????则?s1,s2,AB??6??284?4?1?2?1??507?0,?l1与l2不共面.5(2)法一:取l2上点B(21,-5,2),平面的法向量???ijk???????n?s1?s2?34?2?{?12,?9,?36},取n?{4,3,12}6?4?1由点法式方程得平面方程4x?3y?12z?93?0在l2上取两点B(21,?5,2),C(27,?9,1).设平面的一般式方程为Ax?By?Cz?D?0,??将B,C的坐标代入,且其法向量与s1垂直可得?21A?5B?2C?D?0? ?27A?9B?C?D?0,?3A?4B?2C?0?4?A??D?93?1?解得?B??D,代入得平面方程.4x?3y?12z?93?031?4?C??D?31?
复习题三1.设a,b均为非零向量,且||b||?1,?a,b??lim||a?xb||?||a||x?4,求x?0解:a?b?||a||?cos?原式?lim?4?222||a||,2(a?xb)?ax?0x(||a?xb||?||a||)?lim2a?bx?x||b||22x?0x(||a?xb||?||a||)?2||a||2||a||?22.2.设向量r与a?i?2j?2k共线,与j成锐角,且||r||?15,求r.????解:由于r与a共线,设r?{k,?2k,?2k},||r||?3|k|?15.???得k??5,由r与j成锐角,?取k??5,得r?{?5,10,10},3.设向量p和向量q?3i?6j?8k与x轴都垂直,且||p||?2,求向量p.?????????解:由于p与q和x轴都垂直,?p平行于q?i??6k?8j??????186?设p?{0,8k,?6k},||p||?10|k|?2,得k??,从而p?{0,?,?}.5554.设向量?1,?2,?3两两垂直,且符合右手系规则:||?1||?4,||?2||?2,||?3||?3.计算(?1??2)??3.??????????????????解:由于?1,?2,?3两两垂直,且符合右手系规则,???1??2,?3??0?(?1??2)??3?||?1??2||?||?3||?||?1||?||?2||?||?3||?sin????????????????????????????2?24.5.平面?过M1(1,1,1)和M2(0,1,?1)且与平面x?y?z?0垂直,求?的方程.????????????解法一:由已知条件,平面的法向量n与M1M2?{?1,0,?2}和n1?{1,1,1}均垂直.???ijk?????n??10?2?2i?j?k,由点法式方程得平面方程2x-y-z?0.111解法二:设?的一般式方程为Ax?By?Cz?D?0,将M1,M2的坐标代入?A?B?C?D?0?由?的法向量与已知平面的法向量垂直得方程组?B?C?D?0,?A?B?C?0?
?A??2B?解得?C?B?D?0?从而得?的方程: 2x-y-z?0.6.平面?过?1:2x?3y?z?1?0与?2:x?y?z?0的交线且与平面?2垂直,求?的方程.解法一:过?1,?2的平面束方程为(2??1)x?(1?3?)y?(1??)z???0且由其法向量与?2的法向量垂直得2??1?1-3??1-??0,解得??从而得?的方程 8x-7y-z?3?0.解法二:化?1,?2的交线为标准方程x?12?y?13??iz?2?5??jk31?5?{8,?7,?1},132,??????其方向向量s?{2,3,?5},?的法向量n?s?n1?21由点法式方程得?的方程8x?7y?z?3?0.解法三:设?的一般式方程为:Ax?By?Cz?D?0,在?1,?2的交线上找两点(?1,?1,2),(1,2,?3),将其代入?的方程,且由?与?2垂直可得方程组8?A?D?3?-A-B?2C?D?0?7??A?2B?3C?D?0解得B??D??3?A?B?C?0??1?C??D?3?从而得?的方程8x?7y?z?3?07.求点A(1,-2,1)到直线l:x?32?y?1?3?z?24的距离.
?x??3?2t?解:法一:将l写成参数方程:?y?1?3t?z??2?4t?点A(1,?2,1)到l上一点(?3?2t,1?3t,?2?4t)的距离为:d?(4?2t)?(?3?3t)?(3?4t)222?29t?58t?34?229(t?1)?52最小值为d?5,此即点A到l的距离法二:过点A做一平面与l垂直,平面方程为2(x-1)-3(y?z)?4(z-1)?0?2(x-1)-3(y?2)?4(z-1)?0?求平面与直线的交点?x?3,解得y?1z?2????34?2故距离为d?(-1-1)?(?2?2)?(2?1)222?x??1?:?y??2,?z?2??5.8.求过点A(?1,2,3)与向量??(4,3,1)垂直,并与直线l:直线方程.解:关键是求出待求直线与已知直线l的交点法一:过点A且与向量?垂直的平面方程为4(x?1)?3(y-2)?(z-3)?0此平面与l的交点应满足:?4(x?1)?3(y-2)?(z-3)?05510?,求得交点为(,?,)?x?1y?2z?3333????211故待求直线方程为:x?1?8?y?211?z?3?1.x?12?y?21?z?31相交的法二:设待求之交点为(1?2t,?2?t,3?t),此交点与A的连线应与向量?垂直即连线向量与?之内积为0,即(2?2t,-4?t,t)(4,3,1)?0?4(2?2t)?3(-4?t)?t?0?t?15510?交点为(,?,)3333x?18?y?211?z?3?1.故待求直线方程为:?