设平面的一般式方程为Ax?By?Cz?D?0,将A,C,D的坐标代入得方程组?A?3B?D?0? ?A?B?D?0解得??3B?C?D?0? 从而得平面方程x?z?1?0.?A??D??B?0?C?D?2.证明:二直线?2x?y?3z?3?0 l1:?与l2?x?10y?21?0?2x?y?0:??7x?z?6?0 相交,并求出l1与l2的交点,夹角以及l1与l2所确定的平面.???ijk????解法一:l1的方向向量s1?2?13?{?30,3,21},取s1?{?10,1,7},1100??? 在l1上找一点A(21,0,?15),l2的方向向量s2?{1,2,?7}, l2上找一点B(0,0,6) 从而得l1与l2的参数式方程?x?21?10?? l1:?y??,l2?z??15?7???x???:?y?2?,令?z?6?7???21?10?1??2???1?2?2 解得?1?2,?2?1,分别代入l1,l2的参数方程得(1,2,?1)为l1,l2的交点?????1919 cos?l1,l2??cos?s1,s2??,??l1,l2??arccos,3030?????? 平面的法向量n?s1?s2?{?21,?63,?21}? 取n?{1,3,1},得平面方程(x-21)?3y?(z?15)?0,即x?3y?z-6?0.?????????????????????解法二:s1,s2,A,B同上,则由s1,s2,AB?0,知l1与l2共面,而s1//s2,?l1与l2?? 相交,将l2的参数式方程代入l1的第一个方程解得??1,从而得交点 坐标(1,2,-1),其余同解法一.
3.求与平3.求与平面2x-3y-6z?14?0平行,且与坐标原点的距离为5的平面方程.解法一:由已知条件可设平面的一般式方程为2x-3y-6z?D?0, 原点到平面的距离 d?|D|49?5,得D??35,????解法二:设原点到平面垂线的垂足为A(x,y,z),由OA与已知平面法向量 平行可设????????5 OA?{2k,?3k,?6k},由||OA||?7|k|?5,得k??,71530??10 ?A的坐标为??,?,??,777?? 由点法式方程得平面方程 2(x?107)-3(y?157)-6(z?307)?0,即2x-3y-6z?35?0. ?平面方程为2x?3y?6z?35?0?x?y?4z?12?04.求点M(3,1,?4)关于直线l:?的对称点.?2x?y?2z?3?0??ij?解法一:设对称点的坐标为A(x,y,z),l的方向向量s?1?121?k?4?{6,?6,3}?2? 取s?{2,?2,1},过M作垂直于l的平面?为:2(x-3)-2(y-1)?(z?4)?0,即 2x-2y?z?0. 在l上找一点B(-5,7,0),得l的参数式方程?x?2?-58 ?代入平面?,得??,3?y??2??7158x?31y?15z?48 从而l与?的交点(,,)为MA的中点,即?,?,?,333232323158 从而l与?的交点(,,)为MA的中点,即333 x?32?1y?15z?48,?,?,从而32323
得对称点坐标(-7728,,).333????x?3y?1z-4解法二:设对称点为A(x,y,z),由MA的中点(,,)在l上及MA222?x?y?4z??42?? 与l的方向向量s?{2,?2,1}垂直可得方程组?2x?y?2z??21,?2x?2y?z?0?7?x???3?77728? 解得?y?,得对称点为(?,,).3333?28?z??3?5.求点P(3,1,2)在直线l:x?3t,y?t?1,z?t?1上的投影P?,并求点P到l的距离d.解法一:过点P作垂直于l的平面,其方程为3(x-3)?(y-1)?(z-2)?0,即3x?y?z-12?0,将l的参数式方程代入得9t?t-1?t?1-12?0,解得t?得投影点P?的坐标(36,1,23)及P到l的距离d?|PP|?1121111011111111.解法二:设l上任一点的坐标为A(3t,t?1,t?1),则P,A的距离|PA|?(3t?3)?(t?2)?(t?1)11011222?11t?24t?14,当t?36,1,23).21211时,此距离取得最小值即为P到l的距离d?,从而得投影点坐标(111111
6.求直线?x?2y?3z?5?0l:?的标准方程和在三个坐标面上的投影.2x?y?z?2?0????ijk??解:l的方向向量为s?12?3?{?1,?7,?5},取s?{1,7,5}.2?11x1?y?17?z?15.取l上一点A(0,1,?1),得直线标准方程法一:在l的一般式方程中消去z得7x-y?1?0,?7x-y?1?0从而得在xOy面上的投影??z?0在l的一般式方程中消去y得5x-z-1?0,?5x-z-1?0从而得在xOz面上的投影??y?0在l的一般式方程中消去x得5y-7z-12?0,?5y-7z-12?0从而得在yOz面上的投影??x?0法二:过l的平面束为(2??1)x?(???2)y?(?-3)z?(2?-5)?0,其中与xOy面垂直?的平面?1的法向量与k?{0,0,1}垂直,得??3,从而得?1的方程7x-y?1?0,从而得l在xOy面上的投影?7x-y?1?0?5x-z-1?0,同样方法可得其在xOz面上的投影,在yOz面上的投影??z?0y?0???5y?7z?12?0??x?0
7.证明:直线l1;x?12?y?2?3?z?54与l2;x?73?y?22?z?1?2位于同一平面内,并求这平面及两直线间的夹角.?x?1?2??解法一:l1,l2的参数式方程为?y??2?3??z?5?4???1?2?1?7?3?1??1?0解方程组?得?,??2?3?1?2?2?2??2??2将?1代入l1的参数式方程得l1与l2的交点(1,?2,5),???ijk??l1与l2共面,平面的法向量n?2?34?{?2,16,13},3由点法式方程得平面方程2x-16y-13z?31?0,两直线间的夹角为其方向向量的夹角?????8cos?l1,l2??cos(s1,s2)?-,493???l1,l2??arccos?????.493?82?2?x?7?3??,?y?2?2?,?z?1?2???????????解法二:在l1,l2上分别取两点A(1,?2,5),B(7,2,1),?[s1,s2,AB]?0,?l1与l2共面,设平面一般式方程为Ax?By?Cz?D?0,将A,B坐标代入,且由其法向量与l1的方向向量垂直得方程组2?A?D?31?A-2B?5C?D?0?16??7A?2B?C?D?0,解得B??D,??31?2A?3B?4C?0??13?C??D?31?得平面方程2x-16y-13z?31?0,其余与法一同.