x
1
≤
2 x
2
x
1
, x
2
≥
0 为整数
该模型输入 LINGO1 模型窗口后的形式见图 6。对照第 2 章 2.6 节，我们可以看出用 LINGO 解 QP 比用 LINDO 解要容易输入模型。注意：原来的整数限定语句―GIN X1‖和―GIN X2‖这里 变成了―@GIN(X1)‖和―@GIN(X2)‖；但是，在 LINDO 下也可以写成―GIN 2‖，这里却不可 以写成―@GIN(2)‖，否则 LINGO 将把这个模型看成没有整数变量。在 LINGO 中，以―@‖开头 的都是函数调用，我们将在后面（本章 3.5 节）详细介绍 LINGO 中能够使用的所有函数。 图 6
5
Page 6 图 7
现在运行菜单命令―LINGO|Solve‖，则可以得到图 7 所示的解答报告，最优整数解 X=（35， 65），最大利润=11077.5。结果中最优整数解与第 2 章 2.6 节相同，但最优值略有不同，估计是
计算误差引起的。此外，LINGO 是将它作为 PINLP（纯整数非线性规划）来求解，因此只告诉我们
找到的是局部最优解（为什么 LINGO 不将它作为 PIQP（纯整数二次规划）来求解？本人也不清楚）。
你还可以选择运行菜单命令―WINDOW|Status Window‖看到图 8 所示的状态窗口（这时我们已经
把该规划模型保存到了文件 IQP0302B.LG4 中，所以这个名字现在也出现在了状态窗口中），从中
可以看到目前为止找到的最佳目标值―Best Obj‖与问题的上界―Obj Bound‖已经是一样的，当前 解的最大利润与这两个值非常接近，估计是计算误差引起的差异。实际上，如果采用全局最优求解
程序（我们将在后面介绍―LINGO|Options‖菜单命令时介绍如何激活全局最优求解程序），可以验
证它就是全局最优解。 图 8
6
Page 7 在本节的最后，我们对 LINGO 的基本用法指出几点注意事项：
1) 变量和行名可以超过 8 个字符，但不能超过 32 个字符，且必须以字母开头。
2) 与 LINDO 相同，用 LINGO 解规划时已假定各变量非负（除非用限定变量取值范围的函数@free
或@sub 或@slb 另行说明）。
3) 与 LINDO 不同，变量可以放在约束条件的右端（同时数字也可放在约束条件的左端）。但为
了提高 LINGO 求解时的效率，应尽可能采用线性表达式定义目标和约束（如果可能）。
3.3 在 LINGO 中使用集合
3．3．1 集合的基本用法
我们前面说过，LINGO 同时也是优化问题的一种建模语言。有了它，使用者可以只用键入一行 文字就可以建立起含有大规模变量的目标函数和成千上万条约束。掌握这种最优化模型语言是非常
重要的，与 LINDO 相比，这可使输入较大规模问题的过程得到简化。
理解 LINGO 建模语言最重要的是理解―集合‖（SET）及其―属性‖（Attribute）的概念。 什么是集合呢？我们通过下面的一个简单例子开始来进行介绍。
例：SAILCO 公司需要决定下四个季度的帆船生产量。下四个季度的帆船需求量分别是 40 条， 60 条，75 条，25 条，这些需求必须按时满足。每个季度正常的生产能力是 40 条帆船，每条船的
生产费用为 400 美元。如果加班生产，每条船的生产费用为 450 美元。每个季度末，每条船的库
存费用为 20 美元。假定生产提前期为 0，初始库存为 10 条船。如何安排生产可使总费用最小？ 我们用 DEM,RP,OP,INV 分别表示需求、正常生产的产量、加班生产的产量、库存量，则 DEM,RP,OP,INV 对每个季度都应该有一个对应的值，也就说他们都应该是一个由 4 个元素组成的
数组，其中 DEM 是已知的，而 RP,OP,INV 是未知数。现在我们可以写出这个问题的模型。首先，
目标函数是所有费用的和： MIN
∑
=
+ +
4, 3, 2, 1
)} ( 20 ) ( 450
) ( 400 {
I
I INV I OP I RP
约束条件主要有两个： 1）能力限制： RP(I)<40，I=1,2,3,4; 2）产品数量的平衡方程：
INV(I)=INV(I-1)+RP(I)+OP(I)-DEM(I),I=1,2,3,4; INV(0)=10;
当然，还要加上变量的非负约束，构成了这个问题的模型（可以看出是 LP 模型）。
可以看出，如果利用数组的概念，这个模型是比较容易建立的。然而，由于 LINDO 中没有数 组这样的数据结构，我们只能对每个季度分别定义变量，如正常产量就要有 4 个变量 RP1，RP2， RP3，RP4 等；对未知数 OP,INV 也是一样。这样，写起来就比较麻烦，尤其如果不是 4 个季度而
是更多（如 1000 个季度）的时候。
记四个季度组成的集合 QUARTERS={1，2，3，4}，它们就是上面数组的下标集合，而数组 DEM,RP,OP,INV 对集合 QUARTERS 中的每个元素 1，2，3，4 分别对应于一个值，如图 9 所示。
LINGO 正是充分利用了这种数组及其下标的关系，引入了―集合‖及其―属性‖的概念，把 QUARTERS={1，2，3，4}称为集合，把 DEM,RP,OP,INV 称为该集合的属性。
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Page 8 QUARTERS 集合的属性 OP INV DEM RP 2 3 4 1
QUARTERS 集合 图 9 集合及其属性
该 LP 模型在 LINGO 中的一个典型输入方式见图 10。我们可以看到这个输入以―MODEL：‖
开始，以―END‖结束，它们之间由语句组成，可以分成三个部分：前一部分（从―SETS：‖到―ENDSETS‖）
是定义集合及其属性，后一部分（从―DATA：‖到―ENDDATA‖）是给出常量 DEM 的值，中间部
分给出优化目标和约束。 图 10
目标函数是用求和函数‖@SUM(集合：表达式)‖的方式定义的，这个函数的功能是对冒号―：‖ 后面的表达式，按照冒号―：‖前面的下标集合指定的下标进行求和。由于本例中目标函数对所有 下标都要求和，所以我们连下标 i 也省去了；如果不省略，目标函数也可以等价地写成 ―@SUM(QUARTERS(i): 400*RP(i) +450*OP(i) +20*INV(i) )‖。
约束是用循环函数‖@FOR(集合：约束关系式)‖的方式定义的，意思是对冒号―：‖前面的集 合的每个元素（下标），冒号―：‖后面的约束关系式都要成立。由于下标 i=1 时的约束关系式与
i=2，3，4 时有所区别，所以对下标集合的元素（下标）加了一个―i#GT#1‖的限制条件，而把 i=1 时的约束关系式单独写出。限制条件―i#GT#1‖是一个逻辑表达式，意思就是 i>1；―#GT#‖ 是逻辑运算符号，意思是―大于‖（其他逻辑运算符将在本章后面 3.4 节介绍）。
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Page 9 现在运行菜单命令―LINGO|Solve‖，则可以得到图 11 所示的解答报告，全局最优解 RP=（40， 40，40，25），OP=（0，10，35，0），最小成本=78450。这就是我们模型的计算结果。 图 11
一般来说， LINGO 中建立的优化模型由四个部分组成，或称为四―段‖（SECTION）： （1）集合段（SETS）：这部分要以 SETS: 开始，以 ENDSETS 结束，作用在于定义必要的 集合变量（SET）及其元素（MEMBER，含义类似于数组的下标）和属性（ATTRIBUTE，含义类似
于数组）。如上例中定义了集合 quarters（含义是季节），这里它包含四个元素即四个季节指标 （1,2,3,4），每个季节都有需求（DEM）、正常生产量（RP）、加班生产量（OP）、库存量（INV） 等属性（相当于数组，数组下标由 quarters 元素决定）。一旦这样的定义建立起来，如果 quarters 的数量不是 4 而是 1000,只需扩展其元素为 1,2，...,1000,每个季节仍然都有 DEM,RP,OP,INV 这样的属性(这些量的具体数值如果是常量，则可在数据段输入；如果是未知数，则可在初始段输
入初值)。自然，当 quarters 的数量不是 4 而是 1000 时，我们也没有必要把 1,2，...,1000 全部一个一个列出来，而是可以如下定义 quarters 集合： quarters/1..1000/:DEM,RP,OP,INV;
即―1..1000‖的意识就是从 1 到 1000 的所有整数（我们的例子中只有 4 个元素，所以没有写成 ―1..4‖而是全部列出来了）。
（2）目标与约束段：这部分实际上定义了目标函数，约束条件等。一般要用到 LINGO 的内部 函数，可在具体使用中体会其功能和用法(详见 3.5 节)。上例中定义的目标函数与 quarters 的
9
Page 10 元素数目是 4 或 1000 并无具体的关系。约束的表示也类似。
（3）数据段（DATA）：这部分要以 DATA: 开始，以 ENDDATA 结束，作用在于对集合的属
性（数组）输入必要的常数数据。格式为：attribute = value_list。常数值列表（value_list） 中数据之间可以用逗号―，‖分开，也可以用空格分开（回车的作用也等价于一个空格），如上面 对 DEM 的赋值也可以写成―DEM=40 60 75 25‖。
在 LINGO 模型中，如果想在运行时才对参数赋值，可以在数据段使用输入语句。但这仅用于 对单个变量赋值，而不能用于属性变量（数组），输入语句格式为：―变量名 = ？；‖。例如， 上面的例子中如果需要在求解模型时才给出初始库存量（记为 A），则可以在模型中数据段写上―A
= ?；‖语句， 在求解时 LINDO 系统给出提示界面，等待用户输入变量 A 的数值。 （4）初始段（INIT）：这部分要以 INIT: 开始，以 ENDINIT 结束，作用在于对集合的属 性（数组）定义迭代初值，如果有一个接近最优解的初值，对 LINGO 求解模型是有帮助的。格式
为：attribute = value_list;上例中没有初始化部分，我们将在下一个例子中举例说明。 实际上，LINGO 模型在求解时也是要展开成与 LINDO 模型类似的形式的。选择菜单命令 ―LINGO|Generate|Disply model‖（Ctrl+G），可以得到展开形式的模型如图 12 所示，这 与我们在 LINDO 下的模型输入形式很类似，只是在 LINDO 中不允许有这种数组形式的变量。注意：
如果目标或约束中有非线性变量项，对应的非线性变量前的系数将以问号（―？‖）显示。 图 12
3．3．2 基本集合与派生集合
我们下面再用 LINGO 来解在第一章 1.5 节中介绍的如下料场选址问题：
某公司有 6 个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标 a, b 表示，距离单位：公里）及 水泥日用量 d（吨）由表 3 给出。目前有两个临时料场位于 P (5, 1), Q (2, 7) ，日储量各有 20 吨。
假设从料场到工地之间均有直线道路相连，试制定每天的供应计划，即从 A, B 两料场分别向各工地
运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。为了进一步减少吨公里数，打算舍弃两个临时料场，改建
两个新的，日储量仍各为 20 吨，问应建在何处，节省的吨公里数有多大。 １ ２ ３ ４ ５ ６ a 1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25 b