图 19
从这个例子还可以看出，虽然集合 CITIES 中的元素不是数字，但当它以 CITIES（I）的形式出
现在循环中时，引用下标 I 却实际上是正整数，也就是说 I 指的正是元素在集合中的位置（顺序），
一般称为元素的索引（INDEX）。我们在@for 循环中故意用了一个函数―@index‖, 其作用是返回
一个元素在集合中的索引值，这里@index(S )=1，所以逻辑关系式―I#GT#@index(S )‖可以直接等 价地写成―I#GT#1‖。这里@index(S )实际上还是@index(CITIES，S )的简写，即返回 S 在集合 CITIES 中的索引值。
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Page 16 运行以上程序后得到结果（图 19）。可以看出, 从S到T的最优行驶路线的路长为 20（进一步分
析，可以得到从S到T的最优行驶路线为S→ A
3
→ B
2
→ C
1
→ T）。
上面这个例子中定义稀疏集合 ROADS 的方法是将其元素通过枚举给出，有时这还是太麻烦了， 用起来不方便。LINGO 提供了另一种定义稀疏集合的方法，这就是―元素过滤‖法，能够从构成派
生集合的父集合的笛卡儿积中系统地过滤下来一些真正的元素。请看下面的例子。
某班 8 名同学准备分成 4 个调查队（每队两人）前往 4 个地区进行社会调查。假设这 8 名同学
两两之间组队的效率如表 4 所示（由于对称性，只列出了上三角部分），问如何组队可以使总效率 最高？ 学生 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S1 - 9
3 4 2 1 5 6 S2 - - 1 7 3 5 2 1 S3 - - - 4 4 2 9 2 S4 - - - - 1 5 5 2 S5 - - - - - 8 7 6 S6 -
- - - - - 2 3 S7 - - - - - - - 4 表 4
这是一个典型的匹配（MATCHING）问题。把上面的效率矩阵记为 BENEFIT，用 MATCH（Si， Sj）=1 表示同学 Si，Sj 组成一队，而 0 表示不组队。由于对称性，只需考虑 i 显然，目标函数为 BENEFIT（Si，Sj）* MATCH（Si，Sj）之和；约束条件是每个同学只能（而且 必须在）某一组，即对于任意 i 有：只要 MATCH 属性的某个下标为 i 就加起来，此和=1。显然， 这是一个 0-1 线性规划。 模型输入见图 20，其中 STUDENTS 集合的元素列表―S1..S8‖等价于写成―S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8‖, 它没有相关的属性列表，主要用于表示下标集合。我们看到在派生集合 PAIRS 的定义中， 增加了过滤条件，即逻辑关系式―&2#GT#&1‖,意思是第 2 个父集合的元素的索引值（用―&2‖ 表示）大于第 1 个父集合的元素的索引值（用―&1‖表示）。 图 20 16 Page 17 选择菜单命令―LINGO|SOLVE‖运行这个程序，可以得到全局最优值=30。由于 MATCH 变量 中多数为 0，我们这里练习一下如何更清晰地浏览最优解解。选择菜单命令―LINGO|SOLUTION‖， 可以看到图 21 所示的对话框。在对话框中选择 MATCH 属性（变量）和 Nonzeros（只显示非零值） 选项，点击―OK‖按钮，得到的正是我们想看的关于最优解的报告（如图 22 所示）。 图 21 图 22 3．3．4 集合的使用小结 我们把前面介绍的关于集合的不同类型及其关系小结一下，表示在图 23 中。 集合 派生集合 基本集合 稀疏集合 稠密集合 元素列表法 元素过滤法 直接列举法 隐式列举法 图 23 现在，我们归纳一下基本集合和派生集合的定义语法。基本集合的定义格式为（以下语法中凡 是在方括号―[ ]‖中的内容，表示是可选的项，即该项可以有也可以没有）: 17 Page 18 setname [/member_list/] [: attribute_list]; 其中 setname 为定义的集合名，member_list 为元素列表，attribute_list 为属性列表。元 素列表可以采用显式列举法（即直接将所有元素全部列出，元素之间用逗号或空格分开），也可以 采用隐式列举法。隐式列举法可以有几种不同格式，见表 5。 类型 隐式列举格式 示例 示例集合表示的元素 数字型 1..n 1..5 1, 2, 3, 4, 5 字符-数 字型 stringM..stringN Car101..car208 Car101, car102, … , car208 日期（星 期）型 dayM..dayN MON..FRI MON, TUE, WED, THU, FRI 月份型 monthM..monthN OCT..JAN OCT, NOV, DEC, JAN 年份-月 份型 monthYearM..monthYearN OCT2001..JAN2002 OCT2001, NOV2001, DEC2001, JAN2002 表 5 上面的语法还告诉我们元素列表和属性列表都是可选的。当属性列表不在集合定义中出现时， 这样的集合往往只是为了将来在程序中作为一个循环变量来使用；而当元素列表不在集合定义中出 现时，则必须在程序的数据段以赋值语句的方式直接给出元素列表。例如，3.3.1 节的模型（图 10）的集合段和数据段可以分别改为： SETS: QUARTERS:DEM,RP,OP,INV; !注意没有给出元素列表; ENDSETS DATA: QUARTERS DEM=1 40 2 60 3 75 4 25; !注意LINGO按列赋值的特点; ENDDATA 派生集合的一般定义格式为: setname(parent_set_list) [/member_list/] [: attribute_list]; 其中与基本集合的定义相比较只是多了一个 parent_set_list（父集合列表）。父集合列表中的 集合（如 set1，set2，…，等）称为派生集合 setname 的父集合，它们本身也可以是派生集合。 当元素列表（member_list）不在集合定义中出现时，还可以在程序的数据段以赋值语句的方式 给出元素列表；若在程序的数据段也不以赋值语句的方式给出元素列表，则认为父集合中所有元素 的组合（笛卡儿积）都是 setname 的元素。当元素列表在集合定义中出现时，又有―元素列表法‖ 和―元素过滤法‖两种不同方式，请参看本节前面的介绍。 3.4 运算符及其优先级 在前面的很多例子里，我们陆续用到了一些运算符，现在归纳一下 LING0 中的三类运算符： 算术运算符、逻辑运算符和关系运算符。 算术运算符有 5 种：+（加法），—（减法或负号），*（乘法），/（除法），^(求幂)。 逻辑运算符有 9 种：#AND#（与），#OR#（或），#NOT#（非），#EQ#（等于），#NE#（不 等于），#GT#（大于），#GE#（大于等于），#LT#（小于），#LE#（小于等于）。逻辑运算的 结果只有―真‖（TRUE）和―假‖（FALSE）两个值，LINGO 中用数字 1 代表 TRUE，其他值（典 型的值是 0）都是 FALSE。 18 Page 19 关系运算符有 3 种：<（即<=，小于等于),=（等于），>（即>=，大于等于)。注意在数学规 划中约束一般没有严格小于、严格大于关系。 这些运算符的优先级如表 6 所示（同一优先级按从左到右的顺序执行；如果有括号―（）‖，