则括号内的表达式优先进行计算）。 优先级 运算符 最高
#NOT# —（负号） ^ * /
+ —（减法）
#EQ# #NE# #GT# #GE# #LT# #LE# #AND# #OR# 最低 < = > 表 6
3.5 LINGO 函数一览
LINGO 中还包括相当丰富的数学函数和控制语句。在 LINGO 中建立优化模型时可以引用大量 的内部函数，这些函数以‖@‖符号打头。 1）常用的数学函数
@ABS(X) 返回变量 X 的绝对值。
@COS(X) 返回变量 X 的余弦值（X 的单位是弧度）。 @EXP(X) 返回
的值（其中 e 为自然对数的底，即 2.718281...）。
e
X
@FLOOR( X) 返回的整数部分（向最靠近 0 的方向取整）。
@LGM(X) 返回变量 X 的 gamma（伽玛）函数的自然对数值（当 X 为整数时 LGM(X) = LOG(X-1)！；当 X 不为整数时，采用线性插值得到结果）。 @LOG(X) 返回变量 X 的自然对数值。
@SIGN(X) 返回变量 X 的符号值（ X < 0 时返回-1, X >= 0 时返回+1）。 @SIN(X) 返回变量 X 的正弦值（X 的单位是弧度）。 @SMAX(list ) 返回一列数(list)的最大值。 @SMIN(list ) 返回一列数(list)的最小值。
@TAN(X) 返回变量 X 的正切值（X 的单位是弧度）。 2）集合循环函数
集合循环函数的用法如下：
@function( setname [ ( set_index_list)[ | condition]] : expression_list);
其中 function 是集合函数名，有 FOR、MAX、MIN、SUM 四种； setname 是集合名； set_index_list 是集合索引列表（不需使用索引时可以省略）；condition 是用逻辑表达式 描述的条件（通常含有索引，无条件时可以省略）；expression_list 是一个表达式（对@FOR 函数，可以是一组表达式）。集合函数名的含义如下：
@FOR 对集合 setname 的每个元素独立地生成约束，约束由 expression_list 描述。 @MAX 返回集合 setname 上的表达式的最大值。 @MIN 返回集合 setname 上的表达式的最小值。 @SUM 返回集合 setname 上的表达式的和。
19
Page 20 3）集合处理函数
@IN( set_name, primitive_index_1 [, primitive_index_2 ...])
如 果 集 合 set_name 中 包 含 本 集 合 的 元 素 索 引 primitive_index_1 [, primitive_index_2 ...]所对应的元素，则返回 1，否则返回 0。元素索引用―&1‖、―&2‖
或@INDEX 函数等形式给出，这里―&1‖表示对应于第 1 个父集合的元素的索引值，―&2‖表示对
应于第 2 个父集合的元素的索引值。
例如，如果我们想定义一个学生集合 STUDENTS（基本集合），然后由它派生一个及格学生的 集合 PASSED 和一个不及格学生的集合 FAILED，可以如下定义： SETS:
STUDENTS / ZHAO, QIAN, SUN, LI/:; PASSED( STUDENTS) /QIAN，SUN/:;
FAILED( STUDENTS) | #NOT# @IN( PASSED, &1):; ENDSETS
又如，如果集合 C 是由集合 A，B 派生的，例如： SETS: A / 1..3/:; B / X Y Z/:;
C( A, B) / 1,X 1,Z 2,Y 3,X/:; ENDSETS
现在假设我们想判断 C 中是否包含元素（2，Y），则可以利用以下语句（对本例，C 中确实包含元
素（2，Y），所以 X=1）：
X = @IN( C, @INDEX( A, 2), @INDEX( B, Y)); @INDEX( [set_name,] primitive_set_element)
给出元素 primitive_set_element 在集合 set_name 中的索引值（即顺序位置的编号）。
如 果 省 略 set_name ， LINGO 按 模 型 中 定 义 的 集 合 顺 序 找 到 第 一 个 含 有 元 素
primitive_set_element 的集合，并返回索引值。如果在所有集合中均没有找到该元素，会给 出出错信息。 @WRAP(I,N)
当 I 位于区间[1, N ]内时直接返回 I；一般地，返回 J = I - K *N , 其中 J 位于区间 [1, N ]， K 为整数。可见这个，此函数相当于数学上用 I 对 N 取模函数的值+1，即@WRAP(I,N)=I
（mode N）+1。此函数对 N<1 无定义。可以想到，此函数的目地之一是可以用来防止集合的索引 越界。
@SIZE (set_name)
返回数据集 set_name 中包含元素的个数。 4）变量界定函数
变量函数对变量的取值范围附加限制。共四种：
@BND(L, X, U) 限制 L <= X <= U。
@BIN(X) 限制 X 为 0 或 1。
@FREE(X) 取消对 X 的符号限制（即可取负数、0 或正数）。 @GIN(X) 限制 X 为整数。
20
Page 21 5）财务函数
@FPA(I,N) 返回如下情形下的净现值：单位时段利率为 I，连续 N 个时段支付，每个时段支 付单位费用。即@FPA(I,N) =
1 1 1
1 1 1
( ) ( ( ) ) / + = ?
= +
∑
I I
n n N I N
。
@FPL(I,N) 返回如下情形下的净现值：单位时段利率为 I，第 N 个时段支付单位费用。即 @FPL(I,N)
=
+
( )
1 1 I N
。
6）概率函数
这里我们只是列出这些函数的简要功能，由于牵涉较多概率论和随机过程的概念，请大家参阅 有关概率论和随机过程的书籍。 @PSN(X) 标准正态分布的分布函数。
@PSL(X) 单位正态线性损失函数，即返回 MAX(0, Z-X)的期望值, 其中 Z 为标准正态随 机变量。
@PPS(A,X) 均值为 A 的 Poisson 分布的分布函数（当 X 不是整数时，采用线性插值进行计 算）。
@PPL(A,X) Poisson 分布的线性损失函数，即返回 MAX(0, Z-X)的期望值, 其中 Z 为 均值为 A 的 Poisson 随机变量。
@PBN(P,N,X) 二项分布的分布函数（当 N 和（或）X 不是整数时，采用线性插值进行计算）。 @PHG(POP,G,N,X) 超几何（Hypergeometric）分布的分布函数（当 POP，G，N 和（或） X 不是整数时，采用线性插值进行计算）。也就是说，这个就是如下概率：当总共有 POP 个球，其中 G 个是白球的，那么随机地从中取出 N 个球，白球不超过 X 个的概率。 @PEL(A,X) 当到达负荷为 A，服务系统有 X 个服务器且不允许排队时的 Erlang 损失概率。 @PEB(A,X) 当到达负荷为 A，服务系统有 X 个服务器且允许无穷排队时的 Erlang 繁忙概率。 @PFS(A,X,C) 当负荷上限为 A，顾客数为 C，平行服务器数量为 X 时，有限源的 Poisson 服务系统的等待或返修顾客数的期望值。（A 是顾客数乘以平均服务时间，再除以平均返 修时间。当 C 和（或）X 不是整数时，采用线性插值进行计算）。 @PFD(N,D,X) 自由度为 N 和 D 的 F 分布的分布函数。 @PCX(N,X) 自由度为 N 的 Chi-squared 分布的分布函数。 @PTD(N,X) 自由度为 N 的 t 分布的分布函数。
@QRAND(SEED) 返回 0 与 1 之间的拟均匀随机数（SEED 为种子，缺省时取当前计算机时间）。
该函数只能用在数据段，拟均匀随机数可以认为是―超均匀‖的随机数。 @RAND(SEED) 返回 0 与 1 之间的伪均匀随机数（SEED 为种子）。 7）文件输入输出函数
@DUAL( variable_or_row_name)
返回解答中变量的判别数（reduced cost）或约束行的对偶（影子）价格（dual prices）。 @FILE(filename)
当前模型引用其他 ASCII 码文件中的数据或文本时可以采用该语句（但不允许嵌套使用）， 其中 filename 为存放数据的文件名，该文件中记录之间用―~‖分开。例如： MODEL:
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Page 22 SETS:
MYSET / @FILE(myfile.txt) / : @FILE(myfile.txt); ENDSETS
MIN = @SUM( MYSET( I): SHIPPED( I) * COST( I)); @FOR( MYSET( I): SHIPPED( I) > NEED( I); SHIPPED( I) < SUPPLY( I));
DATA:
COST = @FILE( myfile.txt); NEED = @FILE( myfile.txt); SUPPLY = @FILE( myfile.txt); ENDDATA END
myfile.txt 文件的内容可以是如下格式： Seattle,Detroit,Chicago,Denver COST,NEED,SUPPLY,SHIPPED 12,28,15,20
1600,1800,1200,1000 1700,1900,1300,1100 @ODBC 和@OLE
分别提供 LINGO 与 ODBC 和 OLE 的接口，我们将在下章详细介绍。 @POINTER( N)
在 Windows 下使用 LINGO 的动态连接库（Dynamic Link Library，简写为 DLL) ，直接 从共享的内存中传送数据。 @RANGED( variable_or_row_name)
为了保持最优基不变，变量的费用系数或约束行的右端项允许减少的量（参见第 2 章 2.3 节敏 感性分析中的 allowable decrease）。 @RANGEU( variable_or_row_name)
为了保持最优基不变，变量的费用系数或约束行的右端项允许增加的量（参见第 2 章 2.3 节敏 感性分析中的 allowable increase）。 @STATUS()
返回 LINGO 求解模型结束后的最后状态： 0
Global Optimum （全局最优） 1
Infeasible（不可行）
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Page 23 2
Unbounded （无界） 3
Undetermined （不确定） 4
（LINGO 中没有使用该值） 5
Infeasible or Unbounded （通常需要关闭―预处理‖选项后重新求解模型，以确 定究竟是不可行还是无界） 6
Local Optimum（全局最优） 7