2018年初中数学竞赛辅导专题讲义
第16章几何变换
§16.1对称和平移
16．1．1★设M是边长为2的正三角形ABC的边AB的中点．P是边BC上的任意一点，求PA?PM的最小值．
CPM'A'AMB
解析作正三角形ABC关于BC的对称图形△A?BC．M?是M的对称点，故M是A?B的中 点．PM?PM?，如图所示，则 PA?PM?PA?PM?≥AM?.
连结CM?，易知?ACM??90?，所以AM??AC2?CM?2?4?3?7． 所以，PA?PM的最小值是7．
16．1．2★★已知△ABC中，?A?60?．试在△ABC的边AB、AC上分别找出一点P、Q，使BQ?QP?PC最小．
解析作B关于直线AC的对称点B?，C关于直线AB的对称点C?，连B?C?与AB、AC分别交于点P、Q，则P、Q即为所求，如图所示．
CPM'A'AMB
事实上，对于AB、AC上的任意点P?，Q?， BQ??Q?P??P?C?B?Q??Q?P??P?C? ≥B?C??B?Q?QP?PC? ?BQ?QP?PC．
评注因为?A?60?，所以所作线段B?C?必与线段AB、AC相交．
16．1．3★★求证：直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上高的两倍．
解析如图所示，设在直角三角形ABC中，CD是斜边上的高，△PQR是它的任一内接三角形．
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BPADQRCUFGTSVE
将Rt△ABC以BC为对称轴反射为Rt△BCE，此时△PQR反射为△SQV，再将Rt△BCE以CE为对称轴反射为Rt△FCE，此时△SQV反射为△TUV延长DC交EF于G．
易知FF∥AB，所以CG?CD，即GD?2CD，且GD是两平行线AB与EF之间的距离． 所以
PQ?QR?RP?PQ?QV?VT≥GD?2CD.
16．1．4★★★在△ABC内取一点M使?MAB?10?，?MBA?30?．设?ACB?80?， AC?BC．求?AMC.
CEMAHB
解析本题中△ABC为等腰三角形，这就提示我们利用对称性解题，先作一条对称轴，作△ABC的高CH与直线BM交于点E由对称性知， ?EAB??EBA?30?， 所以?EAM?20?， 从而?CAE?20?，
因为?AME??MAB??MBA?40?，又 1?ACE??ACB=40?，
2所以△CAF≌△MAE， 于是AC?AM，
1?180??40???70?． 216．1．5★★在△ABC中，AH是高，H在边BC上，已知?BAC?45?，BH?2，CH?3，求△ABC的面积．
AB的关于AB的对称图形△NAB．解析作△HAC的关于AC的对称图形△MAC，作△H分
别延长MC和NB，它们相交于L，如图所示．
所以?AMC? 2
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AMNBHLC
易知?M??N?90?，且 ?NAM?2?BAC?90?， AM?AH?AN．
所以，四边形LMAN是正方形． 设正方形LMAN的边长为a，则 CL?a?3，BL?a?2．
在直角三角形BCL中，由勾股定理知 BL2?CL2?BC2．
?a?2?2??a?3??25．
2解方程，得a?6，即AH?6．所以
1BC?AH?15． 216．1．6★★★如图，凸四边形PQRS的四个顶点分别在边长为a的正方形ABCD的四条边S△ABC?上，求证：PQRS的周长不小于22a．
解析作正方形ABCD关于BC的轴对称图形，得到正方形A1BCD1，再作正方形A1BCD1关于CD1的轴对称图形，得到正方形A2B2CD1，再作正方形A2B2CD1关于A2D1的轴对称图形，得
到正方形A2B3C3D1，而P、Q、R、S四点的对应点如图所示．
APBP1A1S1D1R3C3QSDRCR1S2Q2B2P2A2P3Q3B3
显然，AA2?22a，AP∥A2P3，故
PPAA2， 3∥ 3
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所以四边形PQRS的周长 PQ?QR?RS?SP ?PQ?QR1?R1S2?S2P3
≥PP3?AA2?22a．
即四边形PQRS的周长不小于22a．
16．1．7★★★如图，△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形， ?ABC??ADE?90?，现固定△ABC而将△ADE绕点A在平面上旋转，试证：不论△ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在点M使△BMD力等腰直角三角形．
BAA'MCDE
解析如图，设△BMD为等腰直角三角形，下面证明点M在线段EC上．
?B??ADB． 作A关于BD的对称点A?，则?AD因为?ADE?90??2?BDM，
所以?EDM??A?DM?45???A?DB ?45???ADB， 又DA??DA?DE．
所以A?又是E关于DM的对称点． 同理A?也是C关于BM的对称点，因此 ?EMD??A?MD，?CMB??A?MD， 又因?BMD?90?， 所以?CME?180?．
即M在EC上（且为EC的中点）．
16．1．8★★★如图，矩形ABCD中，AB?20，BC?10，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM?MN的值最小，试求出这个最小值．
EDFAPNMBGCQ
解析作AB关于直线AC的对称线段AE，即B、E关于AC对称，作N关于AC的对称点F，则F在AE上，且有BE?AC于Q，NF?AC于P． 由对称变换可知，MN?BM?MF?MB.
欲使MF?BM最小，必须BMF共线，所以BM?MN最小值为点B到AE的距离BG.
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在Rt△ABC中，AB?20，BC?10，所以BQ?在Rt△ABQ中，AQ?AB2?BQ2?202?45AB?BC?45，则BE?2BQ?85． AC??2?85．又AE?AB?20，在△ABE
11BE?AQ中，S△ABE?BE?AQ?AE?BG，则BG? ?16．从而BM?MN的最小值为16．
22AE16．1．9★★凸四边形ABCD中，?ABD??CBD，?ADB??CDB．求证： AB?AD?BC?CD.
DEPCAB
解析将△BCD沿BD翻折，点C落在点P．因为?ABD??CBD，?ADB??CDB，所以P必定在△ABD内部．BP延长线交AD于点E，则 AB?AD?BE?FD?BP?PD?BC?CD.
116．1．10★★设S表示凸四边形ABCD的面积，证明S≤(AB?CD?BC?AD)．
2BlACDD'
解析如图，作点D关于AC的垂直平分线l的对称点D?，显然△ACD与△ACD?关于l成轴对称图形．所以 S?SABCD? ?S△BAD??S△BCD?，
11AB?AD??sin?BAD??BC?CD??sin?BCD? 22≤(AB?AD??BC?CD?) ?1?(AB?CD?BC?AD). 216．1．11★★在矩形ABCD内取一点M，使?BMC??AMD?180?，试求?BCM??DAM的值．
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