2018年初中数学竞赛辅导专题讲义
M'ADMBC
解析如图将△BMC沿AB平移至△ADM?，显然MM??AD，?BMC??AM?D．所以，由已知条件?AM?D??AMD?180?，即A、M、D、M?四点共圆，从而 ?BCM??DAM??ADM???DAM ??AMM???DAM?90?．
16．1．12★★设P是平行四边形ABCD内一点，使得?PAB??PCB， 证明：?PBA??PDA．
APCDP'B
解析如图，把AP平移至DP?，则?BAP??CDP?，及?PBA??P?CD，PP?∥BC， 所以?P?PC??BCP．
又已知?PAB??PCB，故?P?PC??CDP?，从而P、D、P?、C四点共圆．于是 ?P?PD??P?CD，
???PDA， 又?PPD所以?PBA??PDA．
16．1．13★（1）如图（a）所示，在梯形ABCD中，AD∥BC.已知：AD?BC?3，AC?3， BD?6，求梯形ABCD的面积．
B?a，（2）如图（b），在梯形ABCD中，AD∥BC．M是CD的中点，MN?AB于N．设AMN?h，求梯形ABCD的面积．
解析（1）将BD平移到CE，连结DE，则CE?BD?6，DE?BC．所以
ANMDEBCA(a)DEB(b)FC
AE?AD?DE?AD?BC?3．
AE2?AC2?CE2．
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因此?ACE?90?． 因为S△ABC?S△CDE， 所以S梯形ABCD?S△ACE?13AC?CE?2． 22（2）将AB平移至EF，如图（b）所示，EF过点M．由于△MDF≌△MCF，所以
S梯形ABCD?S梯形ABFE?AB?MN?ah．
评注本题的两种添平行线法是解梯形问题的常用方法．
16．1．14★★如图，在四边形ABCD中，AD?BC，E、F分别是DC及AB中点，FE的 延长线与AD及BC的延长线分别交于点H、G．求证：?AHF??BGF．
GHDBAFECB'(a)
解析1如图（a），将线段CB平移至AB?．则四边形AB?BC为平行四边形．由于F是AB中 点，故C、F、B?共线．
现在EF是△CDB?的中位线，故EF∥DB?，所以 ?AHF??ADB?，?BGF??AB?D．
又显然AB??BC?AD．故?ADB???AB?D． 于是?AHF??BGF．
GHDMBAF(b)EC
解析2如图（b），连结AC，取AC中点为M，连结ME、MF，则ME、MF分别为△CDA、
11△ABC的中位线，所以ME∥DA，MF∥BC．故
22?MEF??AHF，
?AFE??FGB，
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且ME?MF，故?MEF??MFE， 所以?AHF??FGB．
16．1．15★★如图，?A??B，AA1、PP1、 1、BB1均垂直于A1B1，垂足为A1、PB1，AA1?17，PP1?16，BB1?20，A1B1?12．求AP?BP的值．
BACDA1P1PEB1
C在线段AA1上，延长BP交AA1于D，将DA1平移到EB1，E在BB1解析将PP1，1平移到CA上．
因为AA1、BB1、PP1PP1和DA1B1E都是矩形． 1均垂直于A1B1，所以四边形CAAC?1．又AA1∥BB1，所以?PDA由CA1?PP??B??，A1?16，AA1?17，得?PCD??PCA?90?，PC?PC．所以Rt△PCD≌Rt△PCA，PA?PD，CD?AC?1．
于是AP?BP?BD， DA1?AA1?AD?15?EB1， BE?BB1?EB1?5．
在Rt△BED中，DE?A1B1?12，BD?BE2?DE2?13，也即 AP?BP?13．
16．1．16★★在正三角形ABC的三条边上，有三条相等的线段A1A2、B1B2、C1C2．证明：直线B2C1、C2A1、A2B1所成的三角形中，三条线段B2C1、C2A1、A2B1与包含它们的边 成比例．
CB3B2AB1A2A3A1BC1C3C2
解析如图，将C1C2平移到B2P，连结PA1、PB1、PC2．因为四边形BC1C2P为平行四边形，
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所以?B1B2P??A?60?，B2P?C1C2?B1B2，故△B1B2P为正三角形，B1P∥A1A2．这样所得四边形A1A2B1P为平行四边形，A1P∥A2B1．
C2A1、A2B1这三条线段构成的三角形与△A1PC2全等，因此，由B2C1、而△A1PC2≌△A3B3C3，
从而命题得证．
16．1．17★★如图所示，AA??BB??CC??2且共点于O，?AOB???BOC???COA??60?， 求证：S△AOB??S△BOC??S△COA??3．
QAC'RBA'OCB'P
OC?沿BB?方向平移BB?长解析将△A?OC沿A?A方向平移A?A长的距离，得△AQR，将△B的距离，得△B?PR?．由于 OP?OQ?2，?POQ?60?， 所以PQ?2．
又因QR?R?P?OC?OC??CC'?2，
故R与R?重合，且P、R、Q三点共线．在正三角形POQ中，
S△AOB??S△BOC??S△COA?
?S△AOB??S△B?PR?S△AQR ?S△OPQ?3?22?3． 416．1．18★★★如图，由平行四边形的顶点B引它的高BK和BH，已知KH?a，BD?b，求点B到△BKH的垂心的距离．
BH1aAKDPCH
解析令H1表示△BKH的垂心．
考虑到KH1?BH，DH?BH，有KH1∥DH．同理有HH1∥DK，因而四边形KDHH1，为平行四边形，平移△BKH1到△PDH位置，显然P为BC上一点，所求线段BH1即PH，
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已与KH位于同一直角三角形中．由于四边形KDPB为矩形，有PK?BD，于是 BH1?PH?PK2?KH2?b2?a2．
16．1．19★★★已知△ABC的面积为S，D、E、F分别为BC、CA、AB上的点，且 BDCEAF1???，试求以AD、BE、CF为边的三角形的面积S?． DCEAFBnGCEDAFB
解析如图，过点A作AG平行且等于FC．连CG、GD、GE，则四边形AFCG为平行四边形，?GCA??CAB．
CGAFAEAE1， ????ABABABCAn?1所以△CGE≌△ABC，?CEG??ACB，因此GE∥CB.
又
GE1BD， =?BCn?1BC所以GE?BD．
于是四边形GEBD也为平行四边形，从而GD?BE，即△ADG为AD、BE、CF所构成的三角形，它的面积为S?．
又因
在梯形GABC中， S梯形GABCGC?ABGC1， ??1??1?SABABn?11??所以S梯形GABC??1??S，
n?1??SBD1而△ABD?， ?SBCn?1所以S△ABC?CG?CD1n， ??BA?BCn?1n?1??1?1n???因此S????1??S ?2n?1n?1???n?1??????n2?n?1?n?1?2S．
§16.2旋转
16．2．1★★对于边长为1的正△ABC内任一点P．求证：3≤PA?PB?PC．
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