2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的
位置关系教师用书 文 新人教版
1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2?k1＝k2. (ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. ②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2?k1·k2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2. (2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组
??A1x＋B1y＋C1＝0，?
?A2x＋B2y＋C2＝0?
2
的解．
2．几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝?x2－x1?＋?y2－y1?.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
2
d＝|Ax0＋By0＋C|
. 22
A＋B|C1－C2|
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝2. A＋B2【知识拓展】 1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． 2．两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. 3．两直线垂直的充要条件
1
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 4．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 5．点到直线与两平行线间的距离的使用条件： (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2?l1∥l2.( × ) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )
(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( √ )
|kx0＋b|
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.( × ) 2
1＋k(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )
1
(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中
k点在直线l上．( √ )
1．(2016·天津模拟)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( ) A．x－2y－1＝0 C．2x＋y－2＝0 答案 A
1
解析 直线x－2y－2＝0可化为y＝x－1，
2
1
所以过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为y＝x＋b，
21
将点(1,0)代入得b＝－. 2所以所求直线方程为x－2y－1＝0.
2．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( ) A.2 C.2－1 答案 C
2
B．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
B．2－2 D.2＋1
|a－2＋3|
解析 依题意得＝1.
1＋1
解得a＝－1＋2或a＝－1－2.∵a>0，∴a＝－1＋2.
3．已知p：直线x－y－1＝0与直线x－my＋2＝0平行，q：m＝1，则p是q的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A
1－1－1
解析 由于两直线平行的充要条件是＝≠，
1－m2即m＝1.
4．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是2，则直线l1的方程为________________．
答案 x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
|c＋1|
解析 设l1的方程为x＋y＋c＝0，则＝2.
2∴|c＋1|＝2，即c＝1或c＝－3.
∴直线l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
5．(教材改编)若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________. 答案 0或1
解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 (1)设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0.则“m＝2”是“l1∥l2”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3
答案 C
解析 当m＝2时，代入两直线方程中， 易知两直线平行，即充分性成立． 当l时，显然m≠0，从而有2
1∥l2m＝m－1，
解得m＝2或m＝－1，
但当m＝－1时，两直线重合，不合要求， 故必要性成立，故选C.
(2)已知直线l2
1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a－1＝0. ①试判断l1与l2是否平行； ②当l1⊥l2时，求a的值．
解 ①方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－a2
x－3，
l2：y＝
1
1－ax－(a＋1)， ?a1ll?－＝a，
1∥2??21－解得a＝－1，
??－3≠－?a＋1?，
综上可知，a＝－1时，l1∥l2. 方法二 由A1B2－A2B1＝0， 得a(a－1)－1×2＝0，
由A2
1C2－A2C1≠0，得a(a－1)－1×6≠0，
∴l??a?a－1?－1×2＝0，
1∥l2????a?a2
－1?－1×6≠0，
2
????a－a－2＝0，
??
a?a2
－1?≠6
?a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2.
②方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2； 当a≠1且a≠0时，
4
a1
l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
21－aa12
由(－)·＝－1?a＝.
21－a3
2方法二 由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0?a＝.
3
思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，
使得： (1)l1∥l2； (2)l1⊥l2.
解 (1)方法一 当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，
l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.
当sin α≠0时，k1＝－
1
，k2＝－2sin α. sin α
12
要使l1∥l2，需－＝－2sin α，即sin α＝±.
sin α2π
所以α＝kπ±，k∈Z，此时两直线的斜率相等．
4π
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
4
方法二 由A1B2－A2B1＝0，得2sinα－1＝0， 所以sin α＝±
2π
，所以α＝kπ±，k∈Z. 24
2
又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. π
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
4(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，
所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z. 故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2. 题型二 两条直线的交点与距离问题
例2 (1)(2016·长沙模拟)求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________________．
(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为
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