规范解答
解 方法一 解方程组?
??x－2y＋4＝0，??x＋y－2＝0，
得P(0,2)．
3
因为l3的斜率为，且l⊥l3，
44
所以直线l的斜率为－，
3
4
由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，
3即4x＋3y－6＝0.
方法二 设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0， 解得λ＝11.
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 ( )
A．充分不必要条件 C．充分必要条件 答案 A
解析 (1)充分性：当a＝1时，
直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行；
(2)必要性：当直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行时有a＝－2或1. 所以“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要条件，故选A.
2．(2016·合肥模拟)已知两条直线l1：x＋y－1＝0，l2：3x＋ay＋2＝0且l1⊥l2，则a等于( )
11
A．－ B. C．－3 D．3
33答案 C
解析 由l1⊥l2，可得1×3＋1×a＝0，
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
11
∴a＝－3.
3．(2016·山东省实验中学质检)从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A．x＋2y－4＝0 C．x＋6y－16＝0 答案 A
1
解析 由直线与向量a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y21
－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以
2反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确．
4．(2017·兰州月考)一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A.2 C．3 答案 B
解析 点O(0,0)关于直线x－y＋1＝0的对称点为O′(－1,1)， 则虫子爬行的最短路程为|O′A|＝?1＋1?＋?1－1?＝2. 故选B.
5．(2016·绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( ) 9A. 529C. 10答案 C
34－12
解析 因为＝≠，所以两直线平行，
685
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离， 即
|－24－5|29＝， 22
106＋8
18
B. 529D. 5
2
2
B．2x＋y－1＝0 D．6x＋y－8＝0
B．2 D．4
29
所以|PQ|的最小值为，故选C.
10
6．(2016·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，
n)重合，则m＋n等于( )
12
34A. 528C. 3答案 A
36B. 532D. 3
解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线， 即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，
??于是?n－31
＝－??m－72，3＋n7＋m＝2×－3，22
??
解得?31
n＝??5，m＝，35
34
故m＋n＝，故选A.
5
7．(2016·忻州训练)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝________. 8
答案 0或
3
a＋b?a－1?＝0，??
4|b|解析 由题意得?
＝.222??a－1?＋1?a＋?－b?
??a＝2，
解得?
??b＝－2
2??a＝，
或?3??b＝2.
经检验，两种情况均符合题意，
8
∴a＋b的值为0或.
3
π
8．已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝________；
4若l1⊥l2，则a＝________；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________． 答案 －1 1 22 解析 若直线l1的倾斜角为
ππ，则－a＝k＝tan ＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋1×(－44
|1－?－3?|
1)＝0，故a＝1；若l1∥l2，则a＝－1，l1：x－y＋1＝0，两平行直线间的距离d＝
1＋1＝22.
9．点P(2,1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________． 答案 25
13
解析 直线l经过定点Q(0，－3)， 如图所示，
由图知，当PQ⊥l时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|＝?2－0?＋?1＋3?＝25，
所以点P(2,1)到直线l的最大距离为25.
10．点P为x轴上的一点，A(1,1)，B(3,4)，则|PA|＋|PB|的最小值是________． 答案
29
2
2
解析 点A(1,1)关于x轴的对称点A′(1，－1)， 则|PA|＋|PB|的最小值是线段A′B的长为29.
11．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，
又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0. 故a＝2，b＝2.
(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2， ∴直线l1的斜率存在． ∴k1＝k2，即＝1－a.
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数， 4
即＝b.
abb2
故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
3
12．(2016·北京朝阳区模拟)已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程． 解 依题意知：kAC＝－2，A(5,1)， ∴lAC为2x＋y－11＝0，
14
??2x＋y－11＝0，
联立lAC、lCM得?
?2x－y－5＝0，?
2
∴C(4,3)．
设B(x0，y0)，AB的中点M为(
x0＋5y0＋1
，
2
)，
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
??2x0－y0－1＝0，
∴?
?x0－2y0－5＝0，?
∴B(－1，－3)，
66
∴kBC＝，∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，
55即6x－5y－9＝0.
*13.已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l175
与l2间的距离是.
10(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件： ①点P在第一象限；
1
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
2
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2∶5. 若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
175
解 (1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝2＝， 2
2102＋?－1?
?a－?－1??
??2??????
所以?a＋1??2???75
5＝?1?7
，即?a＋?＝， 10?2?2
又a＞0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)． 若点P满足条件②，则点P在与l1，
l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且
?c＋1???|c－3|1?2?
5＝×2
5
，
1311即c＝或，
26所以直线l′的方程为
15
2xy1311
0－0＋2＝0或2x0－y0＋6
＝0；
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式， 有
|2x0－y0＋3|2|x0＋y0－1|
5＝5×2
， 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|， 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能． 联立方程2x13
0－y0＋2
＝0和x0－2y0＋4＝0，
?x0＝－3，解得????
y＝1
02
(舍去)；
联立方程2x＋11
0－y06＝0和x0－2y0＋4＝0，
??x0＝1，?9解得37
??y0
＝18.
所以存在点P??137?9，18???
同时满足三个条件．
16