________________．
答案 (1)x＋2y－7＝0 (2)x＋3y－5＝0或x＝－1
??x＋y－4＝0，
解析 (1)由?
??x－y＋2＝0，
??x＝1，
得???y＝3，
∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．
设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0， 则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7. ∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.
(2)方法一 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
|2k－3＋k＋2||－4k－5＋k＋2|
由题意知＝， 22
k＋1k＋1即|3k－1|＝|－3k－3|， 1
∴k＝－.
3
1
∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
3即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意． 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1. 1
方法二 当AB∥l时，有k＝kAB＝－，
31
直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
3即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点时，AB的中点为(－1,4)． ∴直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．
6
解 与l1、l2平行且距离相等的直线方程为
x＋2y－2＝0.
设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0， 即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)， ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0. 1
解得λ＝－.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.
3
(2)正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三条边所在直线的方程．
解 点C到直线x＋3y－5＝0的距离
d＝
|－1－5|310
＝.
51＋9
设与x＋3y－5＝0平行的一条边所在直线的方程是
x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离
d＝
|－1＋m|310＝，
51＋9
解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是
x＋3y＋7＝0.
设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是 3x－y＋n＝0，
则点C到直线3x－y＋n＝0的距离
d＝
|－3＋n|310＝，
51＋9
解得n＝－3或n＝9，
所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0. 题型三 对称问题
命题点1 点关于点中心对称
例3 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
7
答案 x＋4y－4＝0
解析 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 命题点2 点关于直线对称
例4 如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．33 B．6 C．210 D．25 答案 C
解析 直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)．则光线经过的路程为|CD|＝6＋2＝210.
2
2
命题点3 直线关于直线的对称问题
例5 (2016·泰安模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
解 在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上． 设对称点M′(a，b)，则
?a＋2?－3×?b＋0?＋1＝0，2×???2???2?????b－02??a－2×3＝－1，
6
a＝，??13解得?30
b＝??13，
?630?∴M′?，?.
?1313?
设直线m与直线l的交点为N，则
??2x－3y＋1＝0，由?
?3x－2y－6＝0，?
8
得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)．
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. 思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称
①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足???
x′＝2a－x，
??y′＝2b－y.
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，??n－b?ma×?－??－AB???
＝－1，??A·a＋m＋B·b＋n22＋C＝0.
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程； (3)直线l关于(1,2)的对称直线．
解 (1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)， ∵kPP′·kl＝－1，即
y′－yx′－x×3＝－1.① 又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上， ∴3×x′＋xy′＋y2
－2
＋3＝0.②
??x′＝－4x＋3y－9?5
， ③由①②得??y′＝3x＋4y＋3
5. ④
把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7， ∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)． (2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y， 得关于l的对称直线方程为－4x＋3y－93x＋45－y＋3
5
－2＝0， 化简得7x＋y＋22＝0.
n)，则有
9
(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)， ∴
x′＋0
2
＝1，x′＝2，y′＋3
2
＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．
l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，
∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)， 即3x－y－5＝0.
18．妙用直线系求直线方程
一、平行直线系
由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．
典例1 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．
思想方法指导 因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)． 规范解答
解 依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)， 又因为直线过点(1,2)，
所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11. 因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0. 二、垂直直线系
由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解． 典例2 求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程． 思想方法指导 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解． 规范解答
解 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0. 三、过直线交点的直线系
典例3 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
思想方法指导 可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．
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