圆锥曲线
一、定义
【焦点三角形】
x2y2??1的左右焦点为F1、F2，P为椭圆上一点， 1、已知椭圆94（1）若∠F1PF2=900，求△F1PF2的面积
（2）若∠F1PF2=600，求△F1PF2的面积
x2y2??1的左右焦点为F1、F2，P为双曲线上一点， 2、已知双曲线54（1）若∠F1PF2=900，求△F1PF2的面积
（2）若∠F1PF2=600，求△F1PF2的面积
x2y23、例1：F1,F2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点，以F1为圆心且过椭圆中心的
ab圆与椭圆的一个交点为M。若直线F2M与圆F1相切，求该椭圆的离心率。
x2y2??1的焦点为F1、F2。点P为其上的动点，当?F1PF2 为钝角时。点P4、椭圆94横坐标的取值范围为多少？ （2000年全国高考试题）
x2y2x2y25、椭圆2?2(a?b?0)和双曲线2?2(m,n?0)有公共的焦点F1(?c,0)、
abmnF2(c,0)，P为这两曲线的交点，求PF1?PF2的值． 二、方程
1、a、b、c、e几何意义，焦点坐标，准线方程 2、求方程直接法、代入法、定义法 2.1【直接法】
2.2【代入法】
已知圆x2?y2?9，从圆上任意一点P向x轴作垂线段PP/，点M在PP/上，并且PM?2MP/，求点M的轨迹。
2.3【定义法】（与两个定圆相切的圆心轨迹方程）
：一动圆与两圆：x?y?1和x?y?8x?12?0都外切，则动圆的圆心
2222 1
y 的轨迹方程是什么？（2000全国高考试题）
M O 题型1：求轨迹方程
O1 x 例1．（1）一动圆与圆x2?y2?6x?5?0外切，同时与圆x2?y2?6x?91?0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
x2?y2?1有动点P，F1,F2是曲线的两个焦点，求?PF1F2的重心M的（2）双曲线9轨迹方程。
3、给出含参数的方程，说明表示什么曲线。 已知定圆C1：x2?y2?9，圆C2：x2?6x?y2?0
三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标）（结合向量） 直线与圆锥曲线相交的弦长计算(1)要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦长.弦长公式：
(2)对焦点弦要懂得用焦半径公式处理；对中点弦问题，还要掌握“点差法”.
3. 圆锥曲线方程的求法有两种类型：一种是已知曲线形状，可以用待定系数法求解；另一种是根据动点的几何性质，通过建立适当的坐标系来求解，一般是曲线的类型未知.主要方法有：
? 直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等.在求轨迹方程中要仔细检查“遗漏”和“多余”.
4. 圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，也就是说，它是处于代数与几何的交汇处，因此要处理好其综合问题，不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、定理、公式，达到灵活、综合运用，还要善于综合运用代数的知识和方法来解决问题，并注意解析法、数形结合和等价化归的数学思想的应用.
?x2?y2?1，过左焦点F1倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点。求：弦1、已知椭圆
69AB的长，左焦点F1到AB中点M的长。
2
2、椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，C是线段AB的中点.若|AB|=22 ，
直线OC的斜率为
2，求实数a、b的值. 2?x2?y2?1，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，例1．已知椭圆：
69求弦AB的长.
y2?1截得的弦长； 1）求直线y?x?1被双曲线x?42
（一）中点问题
一、【已知中点坐标】以定点为中点的弦所在直线的方程
x2y2??1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线例1、过椭圆
164的方程。
1、在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________
x2y2??1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线方程 2、过椭圆
1643、椭圆4x?9y?144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为
224、中心在原点，一焦点为F1（0，5
2）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是，
12求此椭圆的方程。
二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
1y2x2??1的一条弦的斜率为3，它与直线x?的交点恰为这条弦的中点例3、已知椭圆
27525M，求点M的坐标
3
y2x2??1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 已知椭圆
7525
y2?1截得的弦中点轨迹方程. （2）求过定点(0,1)的直线被双曲线x?42
三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线l:y?3x?2截得的弦的中点的
横坐标为
1，求椭圆的方程。 2四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
x2y2??1，试确定的m取值范围，使得对于直线y?4x?m，椭圆上总例6、已知椭圆43有不同的两点关于该直线对称。
解：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)为椭圆上关于直线y?4x?m的对称两点，P(x,y)为弦P1P2的中点，则3x1?4y1?12，3x2?4y2?12 两式相减得，3(x1?x2)?4(y1?y2)?0 即3(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0
22222222?x1?x2?2x，y1?y2?2y，
y1?y21??
x1?x24?y?3x 这就是弦P1P2中点P轨迹方程。
它与直线y?4x?m的交点必须在椭圆内
联立??y?3x?x??m322，得? 则必须满足y?3?x，
4?y?4x?m?y??3m2即(3m)?3?32213213m，解得??m? 41313
（二）
1、已知抛物线y2?8x的焦点为F，准线与x轴的交点为Q，直线l经过点Q与抛物线交于A、B两点；
4
.(2009·全国卷Ⅱ)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于
A,B两点，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=
四、求离心率的值或范围 1.1、已知a=2b，求e 1.2、已知b=2c，求e
1.3、已知椭圆的短轴是长轴和焦距的等差中项，求e 2、已知a<2b，求离心率的范围
x2y23、（2009江西）过椭圆2?2?1的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2
ab为右焦点，若∠F1PF2=600，求离心率
x2y24、过椭圆2?2?1的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，Q，F2为右焦点，
ab（1）若∠F1 F2P=450，求离心率
（2）若∠F1 F2P＜450，求离心率的范围 （3）∠P F2Q<900，求离心率的范围
x2y25、过双曲线2?2?1的左焦点F1作x轴的垂线交双曲线于点P，Q，F2为右
ab焦点，
（1）若∠F1 F2P=450，求离心率
（2）若∠F1 F2P<450，求离心率的范围 （3）∠P F2Q<900，求离心率的范围
（4）若△P F2Q为等边三角形，求离心率的值 （5）若△P F2Q为锐角三角形，求离心率的范围
36、已知双曲线的渐近线为y??x，则双曲线的离心率e
4x2y27、已知F1，F2是椭圆2?2?1的左右焦点，P是椭圆上的一点，（）
ab（1）∠F1PF2=600，求椭圆离心率的范围。
（2）∠F1PF2=900，求椭圆离心率的范围。 （3）∠F1PF2为锐角，求椭圆离心率的范围。
x2y28、椭圆2?2?1与圆x2?y2?c2，（a2?b2?c2）
ab（1）没有交点求椭圆离心率的范围
（2）两个交点求椭圆离心率的值 （3）四个交点求椭圆离心率的范围
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