§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
→
1． 直线的方向向量：在空间直线l上任取两点A，B，则称AB为直线l的方向向量．
平面的法向量：如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量叫作平面α的法向量． 2． 用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2.
(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l?α?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l?α?v⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β?u1 ∥u2. 3． 用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0. (2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α?v∥u. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的． (2)平面的单位法向量是唯一确定的．
( × ) ( × ) ( × ) ( √ ) ( × ) ( × ) ( )
(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．
(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行． (5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．
(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行． 2． 若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则
A．l1∥l2
B．l1⊥l2 D．以上均不正确
C．l1与l2相交但不垂直 答案 B
解析 a·b＝－12＋36－24＝0，故a⊥b，即l1⊥l2选B.
3． 已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P
中，在平面α内的是 A．P(2,3,3)
( )
B．P(－2,0,1) D．P(3，－3,4)
C．P(－4,4,0) 答案 A
→
解析 逐一验证法，对于选项A，MP＝(1,4,1)， →→∴MP·n＝6－12＋6＝0，∴MP⊥n， ∴点P在平面α内，
同理可验证其他三个点不在平面α内．
19554． 若A(0,2，)，B(1，－1，)，C(－2,1，)是平面α内的三点，设平面α的法向量n＝(x，y，z)，则x∶y∶z
888
＝________. 答案 2∶3∶(－4)
→→→→→
5． 已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，
y，z分别为______________． 答案
4015，－，4 77
→→→→
解析 由题意知，BP⊥AB，BP⊥BC.
??→→所以?BP·AB＝0，
?→→?BP·BC＝0，
→→AB·BC＝0，
1×3＋5×1＋?－2?×z＝0，??
即??x－1?＋5y＋?－2?×?－3?＝0，??3?x－1?＋y－3z＝0，4015
解得，x＝，y＝－，z＝4.
77
题型一 证明平行问题
例1 (2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，
BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点， 点Q在线段AC上，且AQ＝3QC. 证明：PQ∥平面BCD.
思维启迪 证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量． 证明 方法一 如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP 所在射线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知， A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0)． 设点C的坐标为(x0，y0,0)． →→因为AQ＝3QC，
3231
所以Q?x0，＋y0，?.
442??4
因为M为AD的中点，故M(0，2，1)． 1
0，0，?， 又P为BM的中点，故P?2??323→
所以PQ＝?x0，＋y0，0?.
44?4?
→
又平面BCD的一个法向量为a＝(0,0,1)，故PQ·a＝0. 又PQ平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
方法二 在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同证法一建立空间直角坐标系，写出点A、B、C的坐标，设点C坐标为(x0，y0,0)． →1→
∵CF＝CD，设F点坐标系(x，y,0)则
41
(x－x0，y－y0,0)＝(－x0，2－y0,0)
4
?∴?23
y＝?4＋4y
3x＝x0
4
0
23→3
∴OF＝(x0，＋y0,0)
444
23→3
又由证法一知PQ＝(x0，＋y0,0)，
444→→
∴OF＝PQ，∴PQ∥OF.
又PQ平面BCD，OF?平面BCD， ∴PQ∥平面BCD.
思维升华 用向量证明线面平行的方法有
(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；
(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．
如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，
△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、 CD的中点．求证：PB∥平面EFG.
证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，
∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直 角坐标系Axyz，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、 E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)．
→→→
∴PB＝(2,0，－2)，FE＝(0，－1,0)，FG＝(1,1，－1)， →→→设PB＝sFE＋tFG，
即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)， t＝2，??
∴?t－s＝0，??－t＝－2，
解得s＝t＝2.
→→→∴PB＝2FE＋2FG，
→→→→→
又∵FE与FG不共线，∴PB、FE与FG共面． ∵PB平面EFG，∴PB∥平面EFG. 题型二 证明垂直问题
例2 如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1
的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
思维启迪 证明线面垂直可以利用线面垂直的定义，即证线与平 面内的任意一条直线垂直；也可以证线与面的法向量平行．
证明 方法一 设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，→→使m＝λBA1＋μBD.
→→→
令BB1＝a，BC＝b，BA＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它们为空间的一个基底，
→→1→
则BA1＝a＋c，BD＝a＋b，AB1＝a－c，
21→→
λ＋μ?a＋μb＋λc， m＝λBA1＋μBD＝??2?→??λ＋1μ?a＋μb＋λc? AB1·m＝(a－c)·??2??1
λ＋μ?－2μ－4λ＝0. ＝4??2?→
故AB1⊥m，结论得证．
方法二 如图所示，取BC的中点O，连接AO. 因为△ABC为正三角形， 所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1.
→→→
取B1C1的中点O1，以O为原点，以OB，OO1，OA为x轴，y轴， z轴建立空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，3)， A(0,0，3)，B1(1,2,0)．
→→
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，BA1＝(－1,2，3)，BD＝(－2,1,0)． →→
因为n⊥BA1，n⊥BD，
→?BA1＝0，?n·?－x＋2y＋3z＝0，故???
→－2x＋y＝0，??BD＝0?n·
令x＝1，则y＝2，z＝－3，
故n＝(1,2，－3)为平面A1BD的一个法向量， →→→
而AB1＝(1,2，－3)，所以AB1＝n，所以AB1∥n， 故AB1⊥平面A1BD.
思维升华 用向量证明垂直的方法
(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．
(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示． (3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，
PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M 在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角． (1)求证：CM∥平面PAD； (2)求证：平面PAB⊥平面PAD.
证明 以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y 轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， ∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°.
∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4.