运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、 面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系； (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题． 失误与防范
用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．
A组 专项基础训练 (时间：40分钟)
一、选择题
1． 若直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，则( )
A．l∥α或l?α C．l?α 答案 A
2． 若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 答案 D
解析 若l∥α，则a·n＝0，
D中，a·n＝1×0＋(－1)×3＋3×1＝0， ∴a⊥n.
3． 设平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量b＝(－2，h，k)，若α∥β，则h＋k的值为
( )
( )
B．l⊥α D．l与α斜交
A．－2 答案 C
B．－8 C．0 D．－6
解析 由α∥β得a∥b，∴
－2hk
＝＝， 12－2
∴h＝－4，k＝4，∴h＋k＝0.
4． 已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于
( )
62
A. 7答案 D
解析 由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
63
B. 7
60
C. 7
65D. 7
7＝2t－μ??
∴?5＝－t＋4μ??λ＝3t－2μ
??17
，∴?μ＝7
65?λ＝?7
t＝
337
.
5． 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝22，
P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM所成的角为( ) A．60° C．90° 答案 C
解析 以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
依题意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，3)，C(0,2,0)，A(22，0,0)， M(2，2,0)．
→
∴PM＝(2，1，－3)， →
AM＝(－2，2,0)，
→→∴PM·AM＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0， →→
即PM⊥AM，∴AM⊥PM. 二、填空题
6． 已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________.
答案 －4
解析 ∵a·b＝x－2＋6＝0，∴x＝－4.
7． 设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1，4)确定的平面上，则a＝________.
答案 16
→→
解析 PA＝(－1，－3,2)，PB＝(6，－1,4)． →→→
根据共面向量定理，设PC＝xPA＋yPB (x、y∈R)，
B．45°
D．以上都不正确
则(2a－1，a＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4) ＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)， 2a－1＝－x＋6y，??
∴?a＋1＝－3x－y，??2＝2x＋4y，
解得x＝－7，y＝4，a＝16.
8． 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B
和AC上的点，A1M＝AN＝是________． 答案 平行
解析 ∵正方体棱长为a，A1M＝AN＝→2→→2→∴MB＝A1B，CN＝CA，
33
→→→→2→→2→
∴MN＝MB＋BC＋CN＝A1B＋BC＋CA
332→→→2→→
＝(A1B1＋B1B)＋BC＋(CD＋DA) 332→1→＝B1B＋B1C1. 33
→
又∵CD是平面B1BCC1的法向量， →→?2→1→?→∴MN·CD＝?3B1B＋3B1C1?·CD＝0， →→
∴MN⊥CD.又∵MN平面B1BCC1， ∴MN∥平面B1BCC1. 三、解答题
1
9． 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.证明：平面PQC⊥平面
2
DCQ.
2a， 3
2a
，则MN与平面BB1C1C的位置关系 3
证明 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射 线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.依题意有 Q(1，1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，
→→→
则DQ＝(1,1,0)，DC＝(0,0,1)，PQ＝(1，－1,0)． →→→→∴PQ·DQ＝0，PQ·DC＝0. 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
又DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ， 又PQ?平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.
10．如图，在底面是矩形的四棱锥P－ACBD中，PA⊥底面ABCD，E，F
分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. (1)求证：EF∥平面PAB； (2)求证：平面PAD⊥平面PDC.
证明 (1)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴， AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)， B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，
111→1→→∴E(，1，)，F(0,1，)，EF＝(－，0,0)，PB＝(1,0，－1)，PD＝
2222→→→→
(0,2，－1)，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0)． 1→→→→
∵EF＝－AB，∴EF∥AB，即EF∥AB，
2又AB?平面PAB，EF平面PAB， ∴EF∥平面PAB.
→→(2)∵AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， →→AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，
→→→→
∴AP⊥DC，AD⊥DC，即AP⊥DC，AD⊥DC. 又AP∩AD＝A，∴DC⊥平面PAD.
∵DC?平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC.
B组 专项能力提升 (时间：30分钟)
1． 已知a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为
( )
A．－1,2 C．1,2
B．1，－2 D．－1，－2
答案 A
解析 由已知得c＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)， 故a·c＝3m＋n＋1＝0，b·c＝m＋5n－9＝0.
??m＝－1，解得?
?n＝2.?
→3→1→1→
2． 已知平面ABC，点M是空间任意一点，点M满足条件OM＝OA＋OB＋OC，则直线AM
488
( )
A．与平面ABC平行 B．是平面ABC的斜线 C．是平面ABC的垂线 D．在平面ABC内 答案 D
解析 由已知得M、A、B、C四点共面．所以AM在平面ABC内，选D. 3． 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，
O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q 为平面ABCD内一点，线段D→→
1Q与OP互相平分，则满足MQ＝λMN 的实数λ的有________个． 答案 2
解析 建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，y,2)， O(1,1,0)，∴OP的中点坐标为
?x＋1?2，y＋12，1??
，
又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3， ∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1. ∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ.
4． 如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角
形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的 中点．求证： (1)DE∥平面ABC； (2)B1F⊥平面AEF.
证明 (1)如图建立空间直角坐标系Axyz， 令AB＝AA1＝4，
则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．