山东科技大学学士学位论文 MATLAB程序语言在潮流计算中的可行性分析
3.3.3 潮流计算的约束条件
电力系统运行必须满足一定技术和经济上的要求。这些要求够成了潮流问题中某些变量的约束条件，常用的约束条件如下：
1. 节点电压应满足 Uimin?Ui?Uimax(i?1,2,?n) （3.10）
从保证电能质量和供电安全的要求来看，电力系统的所有电气设备都必须运行在额定电压附近。PU节点电压幅值必须按上述条件给定。因此，这一约束条件是对PQ节点而言。 2. 节点的有功功率和无功功率应满足
PGimin?PGi?PGimax?3. ? （3.11）
QGimin?QGi?QGimax?PQ节点的有功功率和无功功率，以及PU节点的有功功率必须满足上述条件，因此，对平衡节点的P和Q以及PU节点的Q应按上述条件进行检验。 4. 节点之间电压的相位差应满足
|?ij|?|?i??j|?|?i??j|max （3.12）
为了保证系统运行的稳定性，要求某些输电线路两端的电压相位不超过一定的数值。这一约束的主要意义就在于此。
因此，潮流计算可以归结为求解一组非线性方程组，并使其解满足一定的约束条件
[11]
。常用的方法是迭代法和牛顿法，在计算过程中，得出结果
之后用约束条件进行检验。如果不能满足要求，则应修改某些变量的给定值，甚至修改系统的运行方式，重新进行计算。
3.4牛顿－拉夫逊法概述
3.4.1牛顿-拉夫逊法基本原理
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电力系统潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，是对复杂电力系统正常和故障条件下稳态运行状态的计算。潮流计算的目标是求取电力系统在给定运行状态的计算。即节点电压和功率分布，用以检查系统各元件是否过负荷。各点电压是否满足要求，功率的分布和分配是否合理以及功率损耗等。对现有电力系统的运行和扩建，对新的电力系统进行规划设计以及对电力系统进行静态和暂态稳定分析都是以潮流计算为基础。实际电力系统的潮流技术那主要采用牛顿-拉夫逊法。
牛顿--拉夫逊法(简称牛顿法)在数学上是求解非线性代数方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程。即通常所称的逐次线性化过程。[12]
对于非线性代数方程组：
f(x)?0 即 fi(x1,x2,?,xn)?0 (i?1,2,?,n) （3.13） 在待求量x的某一个初始估计值x(0)附近，将上式展开成泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的经线性化的方程组：
f(x(0))?f(x'(0))?x(0)?0 （3.14）
上式称之为牛顿法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量 ?x(0)??[f'(x(0))]?1f(x(0)) （3.15） 将?x(0)和x(0)相加，得到变量的第一次改进值x(1)。接着就从x(1)出发，重复上述计算过程。因此从一定的初值x(0)出发，应用牛顿法求解的迭代格式为：
f'(x(k))?x(k)??f(x(k)) （3.16） x(k?1)?x(k)??x(k) （3.17）
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上两式中：f'(x)是函数f(x)对于变量x的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J，k为迭代次数。
由上式可见，牛顿法的核心便是反复迭代并求解修正方程式。牛顿法当初始估计值x(0)和方程的精确解足够接近时，收敛速度非常快，具有平方收敛特性。
牛顿潮流算法突出的优点是收敛速度快，若选择到一个较好的初值，算法将具有平方收敛特性，一般迭代4~5次便可以收敛到一个非常精确的解。而且其迭代次数与所计算网络的规模基本无关。牛顿法也具有良好的收敛可靠性，对于对以节点导纳矩阵为基础的高斯法呈病态的系统，牛顿法也能可靠收敛。牛顿法所需的内存量及每次迭代所需时间均较高斯法多。
牛顿法的可靠收敛取决于有一个良好的启动初值。如果初值选择不当，算法有可能根本不收敛或收敛到一个无法运行的节点上。对于正常运行的系统，各节点电压一般均在额定值附近，偏移不会太大，并且各节点间的相位角差也不大，所以对各节点可以采用统一的电压初值(也称为平直电压)，如假定：
Ui(0)?1 ?i(0)?0 或 ei(0)?1 fi(0)?0 (i?q1,2,?,n;i?s)
这样一般能得到满意的结果。但若系统因无功紧张或其它原因导致电压质量很差或有重载线路而节点间角差很大时，仍用上述初始电压就有可能出现问题。解决这个问题的办法可以用高斯法迭代1~2次，以此迭代结果作为牛顿法的初值。也可以先用直流法潮流求解一次以求得一个较好的角度初值，然后转入牛顿法迭代。
3.4.2牛顿--拉夫逊法潮流求解过程
本文主要讨论的是以极坐标形式的牛顿拉夫逊法潮流计算的求解过程
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求解过程大致可以分为以下步骤： （1）形成节点导纳矩阵 （2）将各节点电压设初值U，
（3）将节点初值代入相关求式，求出修正方程式的常数项向量 （4）将节点电压初值代入求式，求出雅可比矩阵元素 （5）求解修正方程，求修正向量 （6）求取节点电压的新值
（7）检查是否收敛，如不收敛，则以各节点电压的新值作为初值自第3步重新开始进行狭义次迭代，否则转入下一步
（8）计算支路功率分布，PV节点无功功率和平衡节点柱入功率。
采用极坐标时，节点电压表示为
??V???V(cos??jsin?) (3.18) Viiiiii节点功率方程将写成
Pi?Vi?Vj(Gijcos?ij?Bijsin?ij) (3.19)
j?1nQi?Vi?Vj(Gijsin?ij?Bijcos?ij) （3.20）
j?1n式中?ij??i??j，是两节点电压的相角差。
方程式（3.19）（3.20）把节点功率表示为节点电压的幅值和相角的函数。在有n个节点的系统中，假定第1~m号节点为PQ节点，第m+1~n+1号节点为PV节点，第n号节点为平衡节点。Vn和?n是给定的，PV节点的电压幅值Vm?1~Vn?1也是给定的。因此，只剩下n-1个节点的电压相角?1，?，
?n?1和m个节点的电压幅值V1，?，Vm是未知量。
实际上，对于每一个PQ节点或每一个PV节点都可以列写一个有功功
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率不平衡方程式
?Pi?Pis?Pi?Pis?Vi?Vj(Gijcos?ij?Bijsin?ij)?0????i?????????n?1)j?1n （3.21）
而对于每一个PQ节点还可以再列写一个无功功率不平衡方程式
?Qi?Qis?Qi?Qis?Vi?Vj(Gijsin?ij?Bijcos?ij)?0???(i?1,2,...,m)j?1n （3.22）
式（3.21）和式（3.22）一共包含了n-1+m个方程式，正好同未知量的数目相等，而比直角坐标形式的方程式少了个n-1-m个。
对于方程式（3.21）和（3.22）可以写出修正方程式如下
??P??H ???????Q??KN???????1L??VD2?V??（3.23） ???P1???Q1????1????????P2?Q2??2?;?Q???;????? 式中 ?P???????????????????Pn?1???Qn?1????n?1???V1??V1????V2??;VD2???V???????????Vm?????V2???????????? ???Vm?H是（n-1）*（n-1）阶方阵，其元素为Hij???Pi?Vj??Pi??j；N是（n-1）*m阶
矩阵，其元素为Nij?Vj；K是m*（n-1）阶矩阵，其元素为Kij???Qi??j；
L是m*m阶方阵，其元素为Lij?Vj??Qi?Vj。
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