第一章
矢量分析
重点和难点
关于矢量的定义、运算规则等内容可让读者自学。应着重讲解梯度、散度、旋度的物理概念和数学表示，以及格林定理和亥姆霍兹定理。至于正交曲面坐标系一节可以略去。
考虑到高年级同学已学过物理学，讲解梯度、散度和旋度时，应结合电学中的电位、积分形式的高斯定律以及积分形式的安培环路定律等内容，阐述梯度、散度和旋度的物理概念。详细的数学推演可以从简，仅给出直角坐标系中的表达式即可。讲解无散场和无旋场时，也应以电学中介绍的静电场和恒定磁场的基本特性为例。
至于格林定理，证明可免，仅给出公式即可，但应介绍格林定理的用途。 前已指出，该教材的特色之一是以亥姆霍兹定理为依据逐一介绍电磁场，因此该定理应着重介绍。但是由于证明过程较繁，还要涉及? 函数，如果学时有限可以略去。由于亥姆霍兹定理严格地定量描述了自由空间中矢量场与其散度和旋度之间的关系，因此应该着重说明散度和旋度是产生矢量场的源，而且也是惟一的两个源。所以，散度和旋度是研究矢量场的首要问题。
此外，还应强调自由空间可以存在无散场或无旋场，但是不可能存在既无散又无旋的矢量场。这种既无散又无旋的矢量场只能存在于局部的无源区中。
重要公式
直角坐标系中的矢量表示：A?Axex? Ayey?Azez 矢量的标积：代数定义：A?B?AxBx?AyBy?AzBz
几何定义：A?B?|A||B|cos?
1
exeyez矢量的矢积：代数定义：A?B?AxAyAz BxByBz
几何定义：A?B?ez|A||B|sin?
标量场的梯度：???e??x?x?e????y?y?ez?z 矢量场的散度：??A??Ax?Ay?Az?x??y??z 高斯定理：? V??Ad V?? S A?dS
exeyez矢量场的旋度：??A?????x?y?z； AxAyAz斯托克斯定理：
? S(??A)?dS?? l A?dl
无散场：??(??A)?0； 无旋场：??(??)?0 格林定理：
第一和第二标量格林定理：
? V(????????2?)dV?? S(???)?dS
? V(??2????2?)dV?? S?????? ????dS
第一和第二矢量格林定理：
? V[(??P)?(??Q)?P?????Q]dV?? S?P???Q??dS
? V[Q?(????P)?P?(????Q]dV ?? S[P???Q?Q???P]?dS亥姆霍兹定理： F(r)????(r)???A(r)，式中
?(r)?1????F(r?)4?dV? A(r)?1????F(r?)V?r?r?4?V?r?r?dV?
三种坐标系中矢量表示式之间的转换关系：
2
?Ar??cos?????A?????sin??A???z??0sin?cos?00??Ax???0? ??Ay?
?1????Az?cos???Ax????sin?? ??Ay?
?0????Az??Ar??sin?cos?????A????cos?cos??A???????sin??Ar??sin?????A????cos??A??????00sin?sin?cos?sin?cos?cos???Ar???0?sin?? ??A??
?10????Az?
题 解 第一章 题 解
1-1 已知三个矢量分别为A?ex?2ey?3ez；B?3ex?ey?2ez；C?2ex?ez。试求①|A|, |B|, |C|；②单位矢量ea, eb, ec；③A?B；④A?B；⑤(A?B)?C及
(A?C)?B；⑥(A?C)?B及(A?B)?C。
22解 ① A?Ax?Ay?Az2?12?22???3??14
222B?Bx?By?Bz2?32?12?22?14
22C?Cx?Cy?Cz2?22?02???1??5
2② ea?AA1?ex?2ey?3ez? ??A1414BB1?3ex?ey?2ez? ??B1414CC1?2ex?ez? ??C55eb?ec?③ A?B?AxBx?AyBy?AzBz?3?2?6??1
exeyAyByezBzex3ey21ez?3?7ex?11ey?5ez 2④ A?B?AxBxAz?1 3
⑤ ?A?B??C?72exexeyez?11?5?11ex?3ey?22ez 0?1exAyCyex3exCzeyex2ezey20ez?3??2ex?5ey?4ez ?1因
A?C?AxCxAz?1则
?A?C??B??2?5?4??6ex?8ey?13ez
12⑥ ?A?C??B???2??3???5??1?13?2?15
?A?B??C?7?2?0???5????1??19。
1-2 已知z?0平面内的位置矢量A与X轴的夹角为?，位置矢量B与X轴的夹角为?，试证
cos(???)?cos?cos??sin?sin?
证明 由于两矢量位于z?0平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为
A?exAcos??eyAsin? B?exBcos??eyBsin?
已知A?B?ABco?s????，求得
cos??????即
ABcos?cos??ABsin?sin?AB
cos(???)?cos?cos??sin?sin?
1-3 已知空间三角形的顶点坐标为P1(0, 1, ?2)，P2(4, 1, ?3)及P3(6, 2, 5)。试问：①该三角形是否是直角三角形；②该三角形的面积是多少？ 解 由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为
P1?ey?2ez； P2?4ex?ey?3ez； 那么，由顶点P1指向P2的边矢量为
P3?6ex?2ey?5ez
4
P2?P1?4ex?ez
同理，由顶点P2指向P3的边矢量由顶点P3指向P1的边矢量分别为
P3?P2?2ex?ey?8ez P1?P3??6ex?ey?7ez
因两个边矢量(P2?P1)?(P3?P2)?0，意味该两个边矢量相互垂直，所以该三角形是直角三角形。
因
P2?P1?42?12?17 P3?P2?22?12?82?69，
所以三角形的面积为
S?1P2?P1P3?P2?0.51173 21-4 已知矢量A?exy?eyx，两点P1及P2的坐标位置分别为P1(2, 1, ?1)及
P2(8, 2, ?1)。若取P1及P2之间的抛物线x?2y2或直线P1P2为积分路径，试求
线积分
? p1 p2A?dl。
解 ①积分路线为抛物线。已知抛物线方程为x?2y2, dx?4ydy，则
?P1P2A?dl???ydx?xdy???4y2dy?2y2dy??6y2dy?2y3??14 ②积分
P2P2P22P1P1??P11路线为直线。因P1,P2两点位于z??1平面内，过P1,P2两点的直线方程为
y?1?2?1?x?2?，即6y?x?4，dx?6dy，则 8?2?P1P2A?dl??6ydy??6y?4?dy?12y?4y2P2P1??12??14。
1-5 设标量??xy2?yz3，矢量A?2ex?2ey?ez，试求标量函数?在点(2, ?1, 1)处沿矢量A的方向上的方向导数。 解 已知梯度
???ex???????ey?ez?exy2?ey(2xy?z2)?ez3yz2 ?x?y?z那么，在点(2, ?1, 1)处? 的梯度为
???ex?3ey?3ez
5