求得
?eCk?r?CkeCk?r。
②证明???AeCk?r??Ck?AeCk?r。
利用公式????A?????A?A???，则
???AeCk?r??A???eCk?r??eCk?r??A?A???eCk?r?
再利用①的结果，则
???AeCk?r??Ck?AeCk?r
③证明???AeCk?r??Ck?AeCk?r。
利用公式????A?????A????A，则
???AeCk?r????eCk?r??A?eCk?r??A???eCk?r??A
再利用①的结果，则
???AeCk?r??Ck?AeCk?r。
1-16 试证 ?2??e?kr??kr???r???k2er，式中k为常数。 证明 已知在球坐标系中
1??2?2??2???1?????1??r2?r??r?r???r2sin?????sin??????r2sin2???2 则
?2???e?kr?1??2??e?kr??1??2?1?krk?kr???r????r2?r?r??r???r??????r2?r??r???r2e?re????
?1??kr?krr?r??kre?kr??1?kr?kr2e2?er2???k?e??1?kr????k?e??kr 即
?2??kr??e?kr??2e?r???kr 1-17 试证 (??E)?E?(E??)E?12?|E|2
证明 利用公式
??A?B???A???B??B???A?A????B??B????A?
令上式中的A?B?E，则
?E2?2?E???E?2E????E??2?E???E?2???E??E
11
将上式整理后，即得
???E??E??E???E?1?E2。
21-18 已知矢量场F的散度??F?q?(r)，旋度??F?0，试求该矢量场。 解 根据亥姆霍兹定理，F?r????Φ?r????A?r?，其中
Φ?r??14????F?r??1?；??dVAr??V?r?r?4????F?r???V?r?r?dV?
当??F?0时，则A?r??0，即F?r????Φ?r?。那么因??F?q??r?，求得
Φ?r??则
14?q??r??q? dV??V?r?r?4?rF?r????Φ?r??qer 4?r2?2?1-19 已知某点在圆柱坐标系中的位置为?4, ?, 3?，试求该点在相应的直角
?3?坐标系及圆球坐标系中的位置。
解 已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
x?rcos?，y?rsin?，z?z
因此，该点在直角坐标下的位置为
?2???2??x?4cos????2; y?4sin???23;
?3??3?z = 3
同样，根据球坐标系和直角坐标系坐标变量之间的转换关系，
x2?y2yr?x?y?z；??arctan；??arctan
xz222可得该点在球坐标下的位置为
r?5； ??arctan4?53?； 3??120?
1-20 已知直角坐标系中的矢量A?aex?bey?cez，式中a, b, c均为常数，A是常矢量吗？试求该矢量在圆柱坐标系及圆球坐标系中的表示式。 解 由于A的大小及方向均与空间坐标无关，故是常矢量。
12
已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
r?求得
y； z?z xbr?a2?b2；??arctan； z?c
ax2?y2；??arctansin??ba?b22；cos??aa?b22
又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
?Ar??cos?????A?????sin??A???z??0sin?cos?00??Ax???0???Ay?
?1????Az?将上述结果代入，求得
a??22?Ar??a?bb???A??????22a?b?A???z?0???ba2?b2aa2?b20?0?a2?b2???a???????0?b???0? ?????cc?????1?????即该矢量在圆柱坐标下的表达式为
A?era2?b2?ezc
直角坐标系和球坐标系的坐标变量之间的转换关系为
?x2?y2?r?x2?y2?z2；??arctan?z?由此求得
?a2?b2?r?a?b?c；??arctan?c?222??y??；??arctan??
??x????b??；??arctan?? ??a??矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
?Ar??sin?cos?????A????cos?cos??A???????sin?sin?sin?cos?sin?cos?cos???Ax????sin????Ay?
?0????Az?求得
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?Ar??sin?cos?????A????cos?cos??A???????sin?sin?sin?cos?sin?cos?cos???a??a2?b2?c2???????sin???b???0? ??0?0???c??????即该矢量在球坐标下的表达式为
A?era2?b2?c2。
1-21 已知圆柱坐标系中的矢量A?aer?be??cez，式中a, b, c均为常数，A是常矢量吗？试求??A及??A以及A在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的表示式。
解 因为虽然a, b, c均为常数，但是单位矢量er和e?均为变矢，所以A不是常矢量。
已知圆柱坐标系中，矢量A的散度为
1?1?A??Az ?rAr????A??r?rr???z将A?aer?be??cez代入，得 矢量A的旋度为
err???A??rAre????rA???A?1??ar??0?0?a r?rrerezrr????z?rAzae????rbezr?b?ez ?zrc已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
x?rcos?;
y?rsin?;
z?z yx2?y2?y acos??xx2?y2?x; sin??a又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
?Ax??cos?????Ay???sin??A???z??0?sin?cos?00??Ar???0???A??
?1????Az?将上述接结果代入，得
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?x?Ax??a???y?Ay???a?A??0?z????y?axa0?b??0??x?ay?a?????b???y?x? 0??ba?????1???c???c?????????即该矢量在直角坐标下的表达式为
b?b???A??x?y?ex??y?x?ey?cez，其中x2?y2?a2。
a?a???矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系
?Ar??sin?????A????cos??A??????0cos???Ar???0?sin????A??
?10????Az?0??以及sinac，cos??，求得 rrc??a?a2?c2?0?Ar??rr??a??r??r????a???????c?A????r0?r??b???0???0?
??b??A???010????b??????c????????????即该矢量在球坐标下的表达式为A?rer?be?。
1-22 已知圆球坐标系中矢量A?aer?be??ce?，式中a, b, c均为常数，A是常矢量吗？试求??A及??A，以及A在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。
解 因为虽然a, b, c均为常数，但是单位矢量er，e?，e?均为变矢，所以A不是常矢量。
在球坐标系中，矢量A的散度为
1?21??sin?A???1??A?2rAr?r?rrsin???rsin?????A????????? ?将矢量A的各个分量代入，求得??A?矢量A的旋度为
2ab?cot?。 rr 15