因此，标量函数?在点(2, ?1, 1)处沿矢量A的方向上的方向导数为
???A??ex?3ey?3ez???2ex?2ey?ez??2?6?3??1
1-6 试证式（1-5-11），式（1-5-12）及式（1-5-13）。 证明 式（1-5-11）为?????????????，该式左边为
??????ex??????ey??????ez????? ?x?y?z??????ex?????x??x???????e????y???y?y???????????e??????z?z?z?????????????????????? ???e?e?e??e?e?eyzxyz?x?x????y?z??x?y?z???????????
即，
?????????????。
根据上述复合函数求导法则同样可证式（1-5-12）和式（1-5-13）。
??????1-7 已知标量函数???sinx??siny?e?z，试求该标量函数? 在点P(1,2,3)
2??3??处的最大变化率及其方向。
解 标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。已知标量函数?的梯度为
???ex???????ey?ez ?x?y?z那么
???ex????????z????????z?cosx??siny?e?ey?sinx??cosy?e 2?2??3?3?2??3?
?????? ?ez?sinx??siny?e?z
2??3??将点P(1,2,3) 的坐标代入，得????P??ey大变化率为
?6e?3?ez3?3e。那么，在P点的最2 6
?3e?3??P??ey6e?3?e?3z2e?6?2?27 P点最大变化率方向的方向余弦为
cos??0； cos?????2?27； cos???27?2?27
1-8 若标量函数为
??x2?2y2?3z2?xy?3x?2y?6z
试求在P(1, ?2, 1)点处的梯度。 解 已知梯度???e??x?x?e???ye??y?z?z，将标量函数?代入得 ???ex?2x?y?3??ey?4y?x?2??ez?6z?6?
再将P点的坐标代入，求得标量函数? 在P点处的梯度为
????P?3ex?9ey
1-9 试证式（1-6-11）及式（1-6-12）。
证明 式（1-6-11）为???CA??C??A，该式左边为
???CA????x?CA??Ax?Ay?Az?x????y?CAy????z?CAz??C????x??y??z????C??A即
???CA??C??A
式（1-6-12）为????A?????A?A???，该式左边为
????A????x??Ax????y??Ay????z??Az? ?A???Ax???Ay???Ax?x???x?Ay?y???y?Az?z??z?z
????A?A???；
即
????A?????A?A???
1-10 试求距离|r1?r2|在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式。解 在直角坐标系中
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r1?r2??x2?x1?2??y2?y1?2??z2?z1?2
在圆柱坐标系中，已知x?rcos?，y?rsin?，z?z，因此
r1?r2??r2cos?2?r1cos?1?2??r2sin?2?r1sin?1?2??z2?z1?2
2?r22?r12?2r2r1cos??2??1???z2?z1?
在球坐标系中，已知x?rsin?cos?,y?rsin?sin?,z?rcos?,因此
r1?r2??r2sin?2cos?2?r1sin?1cos?1?2??r2sin?2sin?2?r1sin?1sin?1?2??r2cos?2?r1cos?1?2
?r22?r12?2r2r1?sin?2sin?1cos??2??1??cos?2cos?1?
1-11 已知两个位置矢量r1及r2的终点坐标分别为(r1,?1,?1)及(r2,?2,?2)，试证r1与r2之间的夹角??为
cos??sin?1sin?2cos(?1??2)?cos?1cos?2
证明 根据题意，两个位置矢量在直角坐标系中可表示为
r1?exr1sin?1cos?1?eyr1sin?1sin?1?ezr1cos?1 r2?exr2sin?2cos?2?eyr2sin?2sin?2?ezr2cos?2
已知两个矢量的标积为r1?r2?r1r2cos?，这里?为两个矢量的夹角。因此夹角?为
cos??式中
r1?r2 r1r2r1?r2?r1r2(sin?1cos?1sin?2cos?2?sin?1sin?1sin?2sin?2 ?cos?1cos?2)
r1r2?r1r2
因此，
cos??sin?1sin?2(cos?1cos?2?sin?1sin?2)?cos?1cos?2 ?sin?1sin?2cos(?1??2)?cos?1cos?2
1-12试求分别满足方程式???f1(r)r??0及???f2(r)r??0的函数f1(r)及f2(r)。 解 在球坐标系中，为了满足
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?f?r????f1?r?r????f1?r???r?f1?r???r?r1?r?3f1?r??0 即要求rdf1?r??3fdf1?r?3drdr1?r??0 ?f??，求得 1?r?rlnf1?r???3lnr?lnC
即
f1?r??Cr3 在球坐标系中，为了满足
???f2?r?r????f2?r???r?f2?r???r?0
由于??f2?r???r?0，??r?0，即上式恒为零。故f2?r?可以 是r的任意函数。
1-13 试证式（1-7-11）及式（1-7-12）。
证明 ①式（1-7-11）为???CA??C??A （C为常数） 令A?Axex?Ayey?Azez， CA?CAxex?CAyey?CAzez，则
exeyezexeyez???CA?????????x?y?z?C?x?y?z?C??A CAxCAyCAzAxAyAz②式（1-7-12）为????A?????A????A 令A?Axex?Ayey?Azez，?A??Axex??Ayey??Azez，则
exeyez????A??????x?y?z??????y??A??z???z??Ay??ex
?A?x?Ay?Az???????x??A?????z???z??Ax???ey????x??Ay???y??Ax???ez
????????yAz????zA?y???ex???????xAz????zA?x??ey????????xA???y??yAx???ez 9
?????A?z??Ay??e????Az?Ax????Ay?Ax????y?z??x???x??z??ey????e??x?y??z ????A????A
若将式（1-7-12）的右边展开，也可证明。
1-14 试证 ??r?0，????r??r?r???0及?????r3???0。
证明 已知在球坐标系中，矢量A的旋度为
ere?e?r2sin?rsin??A????r??r???? ArrA?rsin?A?对于矢量r，因Ar?r，A??0，A??0，代入上式，且 因r与角度?，?无关，那么，由上式获知??r?0。
对于矢量r?r?r，因Ar?1，A??0，A??0，显然????r???0。对于矢量
rr3，因Ar?1r2，A??0，A??0，同理获知 ????r??r3???0。 1-15 若C为常数，A及k为常矢量，试证： ① ?eck?r?Ckeck?r； ② ??(Aeck?r)?Ck?Aeck?r；
③ ??(Aeck?r)?Ck?Aeck?r。
证明 ①证明?eCk?r?CkeCk?r。 利用公式?F????F??????，则
?eCk?r?eCk?r??Ck?r??CeCk?r??k?r?
而??k?r????kxx?kyy?kzz??exkx?eyky?ezkz?k
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