(1) x?a时，limf(x)?0，limF(x)?0
x?ax?a(2) 在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导，且F(x)的导数不等于0 (3) x?a时，limx?af?(x)存在或为无穷大 ?F(x)则x?a时，limx?af(x)f?(x) ?limF(x)x?aF?(x)第二章 极限思想在中学数学中的应用
2.1极限在函数中的应用
函数是中学数学最重要的一个模块，在大学数学中也占有重要的地位。同样，大学数学中最重要的极限模块也函数中有十分广泛的应用。
2y?2x例.抛物线与过焦点F的直线m交于两点P、Q，F分线段PQ为两个线段，其长分别为p，
q则1?1等于（ ）
pqA,4 B,
1 C,8 D,2 4
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图一
1解：（1）中学数学解法：由题意可得抛物线的焦点F(0,)
8由直线的参数方程可得过点F的直线m的参数方程为
?x?tcos?? ? （1） 1y??tsin??8? y?2x2 （2）
联立方程（1）和（2）并消去x和y得
12cos2?t2?tsin???0
8 （3）
韦达定理：一个一元二次方程ax2?bx?c?0的两个根为x1和x2
b则 x1?x2??
ac x1?x2?
a根据韦达定理得方程的两个根t1,t2的关系为
sin? 22cos?1t1?t2??
16cos2?t1?t2?11p?q|t1?t2|1???? pqp?qt1?t28
1（2）极限的解法：因为F是抛物线的焦点，所以可以得出F的坐标为F(0,)
8因为直线m是经过点F任意运动的。
所以利用极限的思想，我们可以让P点运动到顶点O点，此时点Q就是运动到无穷远点 所以可以得到q??，即于是
7
1?0 q111???0?8.即答案为C pq18解析：本题是探究抛物线的不动点问题，中学数学的解法是探求p，q之间的关系，中间还应用到了参数方程和韦达定理，其过程比较繁琐，计算比较复杂，不适合于解答选择题。而利用大学数学中极限的解法，只要能认识到动点的极限状态，借助于极限的
1
思想就会使问题变得简单：将线段PQ绕点F运动到无穷远处，因为PF=OF=p?，
8QF=q??，所以很快就可以得到
111??。这是一道选择题，运用极限的思想可以pqp很巧妙的得出答案。极限的这种解法充分的体现了思维的灵活性和敏捷性。
例.设f?x??ex?1?x?ax2，若x?0时，f?x??0.求a的取值范围。 解：中学数学的解法： 当x?0时，a?R.
ex?x?1当x?0时，a? 2xex?x?1设g(x)?，将问题转化为求g(x)的最小值.
x2x2ex?2xex?x2?2x g'(x)?4x令h(x)?x2ex?2xex?x2?2x
h'(x)?x2ex?2ex?2x?2，(x?0) 又h''(x)?2xex?x2ex?2ex?2， 所以h(3)(x)?ex(x2?4x)?0.
所以h''(x)是增函数，故h''(x)?h''(0)?0 所以h'(x)是增函数，故h'(x)?h'(0)?0. 所以h(x)是增函数，故h(x)?h(0)?0
所以g'(x)?0，所以g(x)在(0,??)上单调递增. 但x?0，故无法确定出函数的最小值。
极限的解法：由中学数学的解法可知g(x)在(0,??)上单调递增.
8
设x0?0，对于任意给定的??0，一定存在??0，使得当0?|x?x0|??时，总有
|g(x)?g(x0)|
x?0x?0由洛必达法则可得：
ex?x?1ex?1ex1limg(x)?lim?lim?lim? 2??x?0?x?0?x?0x?0x2x22故x?0时，g(x)?11，因而a?. 221??综上所述，a的取值范围为???,?.
2??解析：用中学数学中的分离参数法求解本题，通过多次求导去确定函数的单调区间，才能确定出函数的最小值，但经过计算后发现函数无法求出最小值。用极限中的洛必达法则求lim?g(x)能够简便解决问题。这非常好的体现了极限的优越性。
x?02.2极限在数列中的应用
在大学数学中我们就学过了数列极限的四则运算法则，在中学阶段主要学习最基础的等差数列和等比数列。而在中学的解题过程中同意可以运用极限的思想来解决部分问题。
下面看一下极限在数列中的应用
xm?1例. limn?_______
x?1x?1解：中学数学解法：
已知一个公比为x的等比数列的前n项和为：
Sn?1?x?x2???xn
1?xn?1 ?
1?x所以 所以
xn?1?1?(1?x)(1?x?x2???xn)
x?1?(1?x)(1?x?x???x) limx?1n2n?1x?1(1?x)(1?x?x???x) ?limn?1n2x?1x?1(1?x)(1?x?x???x)9
m2m?1
1?x?x2??xm?1 =lim
x?11?x?x2??xn?1 =用极限的思想的解法：
m n洛必达法则是用于无穷比无穷或0/0型，分子分母同时求导，可以多次求导，在求导过程中不断寻找等价的无穷小，或削去无穷因子。
此题符合洛必达法则。
?xm?1（xm?1）mxm?1mlimn?limn?limn?1? x?1x?1x?1?（x?1）x?1nxn解析：观察题目的分子分母可知分子分母符合等比数列的前项和公式，再通过极限的计算得出结果。而采用大学数学的极限的方法，我们可以看出整个式子符合运用洛必达法则的条件，所以通过洛必达法则对分子和分母同时求导就可以得出结果。此题是一道填空题，我们通过解答可以看出极限思想的优越性。中学数学解法过程比较繁琐和耗时，而极限的解法简单省时，甚至可以达到秒杀的效果，应当掌握.
例.已知数列{an}中，a1?1，an?1?c?范围。
解：中学数学的解法：由题意可知
1，求使不等式an?an?1?3成立的c的取值ana1?1，a2?c?1. 由a2?a1得c?2
用数学归纳法证明：当c?2时，an?an?1 (Ⅰ)当n?1时，a2?c?1?a1，命题成立。 a1(Ⅱ)设当n?k时ak?ak?1，命题成立。 则当n?k?1时
ak?2?c?11?c??ak?1 ak?1ak故由(Ⅰ) (Ⅱ)知，当c?2时，an?an?1
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