c?c2?4当c?2时，令a?
2由an?11?an?1??c得 ananan?a 当2?c?当c?10时，an?a?3 310时，a?3且1?an?a 3于是a?an?1?即 a?an?1?11(a?an)?(a?an) an?a31(a?1 )3na?1当n?log3时
a?3a?an?1?a?3
an?1?3 因此c?10不符合要求 310] 3所以c的取值范围是(2,极限思想的解法；由题设易知数列{an}是正项递增数列且有上界 所以liman存在
n??不妨设liman?m
n??则liman?1?m且1?m?3
n??对an?1?c?1两边同时取极限得 an1) anliman?1?lim(c?n??n??即m?c?1 m整理得m2?cm?1?0
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因为liman存在
n??所以方程m2?cm?1?0有解 令??c2?4?4
c?c2?4且1?m??3
210] 3解析：本题考查了分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透
解得c的取值范围是(2,了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查。利用中学数学的解法主要思路是通过数学归纳法来验证an?an?1?3成立，再根据验证的结果探求c与an，an?1之间的关系，在
c?c2?4求出c的范围，其中最难的部分是设定a?的值。而利用极限的单调有界的性
2质，对an?1?c?求出c的范围
1两边求极限得出一个一元二次方程，再根据方程有解的判定定理来an2.3极限在不等式中的应用
不等式是中学数学中一个重要的模块，在大学数学中不等式的应用十分广泛，例如极限的证明，夹逼法则的应用等等。而极限同样也在不等式中有着十分广泛的应用。
1111????例.证明 ? 2925（n2?）14解：用数学归纳法
当n?1时，不等式显然成立。 设n?k(k?1)时，不等式成立，即
1111????? 2925（2n?1）4那么，当n?k?1时，
（1）
111111 ??????222925?2k?1??2k?3?4?2k?3?由于
111 ??24(2k?3)412
所以，数学归纳法不可行
1之所以用数学归纳法思路行不通，其原因在于是一个常数，从k 到(k?1)右边常
4量不变，而左边在增大，这样，无法使用归纳假设。
当联想limn11n1??， ?，且当n?1时，
n??4(n?1)44?n?1?89可以将题目转化为:
111n ????? 2925（2n?1）4?n?1?n11??，不等式（2）成立，
4?n?1?89 （2）
证明：①当n?1时，
②设n?k(k?1)时，不等式（2）成立，即
111n????? 2925（2n?1）4?n?1?那么，当n?k?1时，
1111 ????22925?2k?1??2k?3??k1 ?24(k?1)(2k?3)1k1 ?.?4k?1(2k?3)21k1 ?.?4k?1(2k?2)(2k?4)?k?1
4(k?2)
即当n?k?1时，不等式（2）成立
1111?即原式 ???? 2925（2n?1）4解析：中学数学的解法：采用数学归纳法，我们可以看出n?1时，不等式显然成立，假设n?k时不等式也成立，如果再证明出n=k+1时，不等式成立，则假设的n=k就成立，那么就可以用数学归纳法证明出不等式成立，但此题在证明n?k?1时，使不等式的左边的值增大了，所以就达不到证明不等式左边小于右边的效果。极限的方法使
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不等式的右边的常数值转化成了一个等价的变量，使在证明n?k?1时，不等式左右两边的值同时增大，通过比较不等式的大小就证明出了n?k?1时不等式成立，继而得出假设的n?k时的不等式也同样成立，所以不等式就成立了。此题如果一味的采用数学归纳法是证明不出不等式成立的，而引入极限的思想，用极限值来构造新的不等式就可以证明出了不等式成立，本题中引入的极限可以说是达到了一个四两拨千斤的效果，作用非常大，这也正是极限的思想在中学数学中的渗透的一个体现。
2.4极限在立体几何中的应用
立体几何作为中学数学中一个重要的模块，往往因为抽象而让学生感觉学习难度较大。极限思想也成为了解决这类问题重要的一种方法。
例.正三棱锥相邻两个侧面所成的角为?，则?的取值范围是（D）
????A．(0,?) B. (0,) C. (,) D. (,?)
3233
解：利用中学数学的解法： 首先作SO⊥底面ABC于O点。
因为S?ABC为正三棱锥，所以?ABC为正三角形，O点为?ABC的中心。作
AD?SC于D点，连接BD，则BD?SC
所以?ADB为相邻的两个侧面A?SC?B的二面角
?ADB??
设AB?AC?BC?m,?SCB?? 所以AD?BD?msin?
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由余弦定理可得
AD2?BD2?AB21 cos???1?22AD?BD2sin?所以?的余弦值与?的值有关。 再由余弦定理得
BO2?CO2?BS2BC2 cos?BOC??1?22BO?CO2BOBS2?SC2?BC2BC2 cos?BSC??1?2BS?SC2BS2 因为 所以 因为
BO?BS
cos?BOC?cos?BSC
?BOC?2?并且余弦函数在[0,?]上是减函数。 32??BSC?所以
3在?SCB中，由三角形的内角和定理
所以 所以 即 即
2???BSC??
???3
?3????2
?1?cos??1?11 ?22sin?2?3所以答案为D
????
利用极限的思想求解
如图所示，O为正三角形ABC的中心，SO为正三棱锥S?ABC的高，把O看作定点, S看作动点，当O?OS，两相邻侧面趋向于一个平面，此时相邻两侧面的夹角
???；当OS??时，正三棱锥无限趋向正三棱柱，两相邻侧面的夹角愈来愈小，趋
?向于底面三角形ABC的一个内角，即??
3?所以??(,?)，答案即为D
3解析：中学数学的解法：首先构造出相邻两个侧面的二面角的平面角?ADB??，
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