二 一般形式的柯西不等式
1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．(重点)
2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 三维形式的柯西不等式
阅读教材P37～P38“探究”以上部分，完成下列问题．
设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a1＋a2＋a3)·(b1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3).当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．
已知x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝1，则x＋y＋z的最小值是( ) 12
A．1 B. C. D．2
33
12212222222
【解析】 根据柯西不等式，x＋y＋z＝(1＋1＋1)·(x＋y＋z)≥(1×x＋1×y331122
＋1×z)＝(x＋y＋z)＝. 33
【答案】 B
教材整理2 一般形式的柯西不等式 阅读教材P38～P40，完成下列问题．
设a1，a2，a3，?，an，b1，b2，b3，?，bn是实数，则
(a1＋a2＋?＋an)(b1＋b2＋?＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋?＋anbn).当且仅当bi＝0(i＝1,2，?，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，?，n)时，等号成立．
已知a1＋a2＋?＋an＝1，x1＋x2＋?＋xn＝1，则a1x1＋a2x2＋?＋anxn的最大值是( ) A．1 C．3
B．2 D.4
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1
【解析】 (a1x1＋a2x2＋?＋anxn)≤(a1＋a2＋?＋an)(x1＋x2＋?＋xn)＝1×1＝1，当且仅当＝＝?＝＝1时取等号，
∴a1x1＋a2x2＋?＋anxn的最大值是1. 【答案】 A
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
2222222
x1x2a1a2xnan
[小组合作型]
利用柯西不等式求最值 123 已知a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值
abc时a，b，c的值．
123
【精彩点拨】 由于＋＋＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不
abc等式求解．
【自主解答】 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
??123?∴?＋＋?·(a＋2b＋3c)＝[??abc?
?
(3c)]
2
1?2
a?
?＋?
?
?
2?2
b?
?＋?
??
22
?][(a)＋(2b)＋c?
3?2
?≥??
1
a·a＋
2
2
·2b＋b3?2·3c?
c?
＝(1＋2＋3)＝36. 123
又＋＋＝2，
abc∴a＋2b＋3c≥18，
当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立， 综上，当a＝b＝c＝3时，
2
a＋2b＋3c取得最小值18.
利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．
[再练一题]
1．已知x＋4y＋9z＝1，求x＋y＋z的最小值． 【解】 由柯西不等式，知
(x＋4y＋9z)≤(1＋4＋9)(x＋y＋z) ＝98(x＋y＋z)． 又x＋4y＋9z＝1， 1222
∴x＋y＋z≥，(*)
98
当且仅当x＝＝时，等号成立，
49129
∴x＝，y＝，z＝时，(*)取等号．
9849981222
因此，x＋y＋z的最小值为.
98
运用柯西不等式求参数的取值范围 已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式立，求λ的取值范围．
【精彩点拨】 “恒成立”问题需求求最值．
【自主解答】 ∵x>0，y>0，z>0. 且x＋y＋z＝xyz. 111
∴＋＋＝1.
111＋＋的最大值，设法应用柯西不等式x＋yy＋zz＋x111＋＋≤λ恒成x＋yy＋zz＋x2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
yzyzxzxy又
111＋＋ x＋yy＋zz＋x11?1?1＋＋≤?? 2?xyyzzx?
3
111?1?1·＋1·＋1·＝?? 2?xyyzzx?11?3?111??2222
≤??1＋1＋1??＋＋??＝， 2?2?xyyzzx??当且仅当x＝y＝z，
即x＝y＝z＝3时等号成立． ∴故
1113
＋＋的最大值为. x＋yy＋zz＋x2111
＋＋≤λ恒成立时， x＋yy＋zz＋x3. 2
应有λ≥
因此λ的取值范围是??3?
，＋∞?. ?2?
应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．
[再练一题]
2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a＋2b＋3c＋6d＝5，试求a的取值范围.
【导学号：32750052】
【解】 由a＋b＋c＋d＝3，得b＋c＋d＝3－a， 由a＋2b＋3c＋6d＝5，得2b＋3c＋6d＝5－a， 11?222?12
(2b＋3c＋6d)?＋＋?≥(b＋c＋d)，
?236?即2b＋3c＋6d≥(b＋c＋d).
由条件可得，5－a≥(3－a)，解得1≤a≤2， 所以实数a的取值范围是[1,2]．
[探究共研型]
利用柯西不等式证明不等式 探究 在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，?，n)，可以吗？
【提示】 不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．
2
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4
?? 已知a，b，c∈R＋，求证：?＋＋?＋＋≥9.
【精彩点拨】 对应三维形式的柯西不等式，a1＝
abcbca?bca?abca，a2＝bb，a3＝cc，b1＝ab，ab2＝
c，b3＝ba，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证． c【自主解答】 ∵a，b，c∈R＋， 由柯西不等式，知
?a＋b＋c??b＋c＋a?＝[??bca??abc????????≥??
a×b2
a?2??＋?b??c＋bb?2??＋?c??c×aa?2? c?
c?2??]×[?a??b?2?
?＋?a??c?2??＋?b??a?2?] c?
b＋ab×c＝(1＋1＋1)＝9，
?abc??bca?∴?＋＋??＋＋?≥9. ?bca??abc?
1．当ai，bi是正数时，柯西不等式变形为(a1＋a2＋?＋an)(b1＋b2＋?＋bn)≥(a1b1＋
a2b2＋?＋anbn)2.
2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．
[再练一题]
3．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值；
111＋
(2)若a，b，c∈R，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
a2b3c【解】 (1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.
111
(2)证明：由(1)知＋＋＝1.又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2ba2b3c?111?＋3c)?＋＋?≥ ?a2b3c?
?a·1＋2b·1＋3c·1?2??＝9.
a2b3c??
[构建·体系]
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