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一般形式的柯西不等式——一般形式
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?—一般形式的应用
—三维形式
1．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为( ) A．18 C．－18
【解析】 |a·b|≤|a||b|， ∴|a·b|≤18.
∴－18≤a·b≤18，当a，b反向时，a·b最小，最小值为－18. 【答案】 C
2．若a1＋a2＋?＋an＝1，b1＋b2＋?＋bn＝4，则a1b1＋a2b2＋?＋anbn的取值范围是( ) A．(－∞，2) C．(－∞，2]
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B．6 D.12
B．[－2,2] D.[－1,1]
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【解析】 ∵(a1＋a2＋?＋an)(b1＋b2＋?＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋?＋anbn)， ∴(a1b1＋a2b2＋?＋anbn)≤4， ∴|a1b1＋a2b2＋?＋anbn|≤2， 即－2≤a1b1＋a2b2＋?＋anbn≤2，
1
当且仅当ai＝bi(i＝1,2，?，n)时，右边等号成立；
2
1
当且仅当ai＝－bi(i＝1,2，?，n)时，左边等号成立，故选B.
2【答案】 B
3．(2014·陕西高考)设a，b，m，n∈R，且a＋b＝5，ma＋nb＝5，则 m＋n的最小值为________．
【解析】 根据柯西不等式(ma＋nb)≤(a＋b)(m＋n)，得25≤5(m＋n)，m＋n≥5，
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222
m2＋n2的最小值为5.
【答案】
5
?4936?4．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)?＋＋?的最小值为________.
?abc?
【导学号：32750053】
【解析】 由a，b，c为正数，
6
?4936?∴(a＋b＋c)?＋＋?
?ab2
c?
??2?2?3?2?6?2?
＝[(a)＋(b)＋(c)]???＋＋??＋???
??a??b??c??
2
2
?a·2＋b·3＋c·6?2
≥??＝121，
abc??
当且仅当＝＝＝k(k>0)时等号成立． 236
abc?4936?故(a＋b＋c)?＋＋?的最小值是121.
?abc?
【答案】 121
5．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x＋4y＋z的最小值． 【解】 由柯西不等式得
(x＋4y＋z)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z). ∵x＋2y＋z＝1，
1222222
∴3(x＋4y＋z)≥1，即x＋4y＋z≥.
3
11111222
当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．故x＋4y＋z的最小值为.
33633
我还有这些不足：
(1) (2) 我的课下提升方案：
(1) (2)
学业分层测评（十） (建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值是( ) A．1 C．3
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B.3 D.9
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2
【解析】 由柯西不等式得[(a)＋(b)＋(c)](1＋1＋1)≥(a＋b＋c)，
7
∴(a＋b＋c)≤3×1＝3，
1
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
3∴a＋b＋c的最大值为3.故选B. 【答案】 B
222
2．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为( )
2
abc【导学号：32750054】
A．4 C．6
B．3 D.2
?222?【解析】 ∵(a＋b＋c)?＋＋?
?abc?
2
＝[(a)＋(b)＋(c)]·
22
??
????
2?2??＋?
2?2
a??
??＋?b??
b2?2?
c??
??≥
2?2
?
?a·?
2
a＋b·
2
＋c·c?
?＝18.
222
∴＋＋≥2.
abc【答案】 D
3．设a1，a2，?，an为实数，P＝大小关系为( )
A．P＞Q C．P＜Q
【解析】 由柯西不等式知
B．P≥Q D.不确定
22
a2a1＋a2＋?＋an1＋a2＋?＋an，Q＝，则P与Q的
nn
≥a1＋a2＋?＋an，
∴a1＋a2＋?＋an·n≥a1＋a2＋?＋an， 即得22a2a1＋a2＋?＋an1＋a2＋?＋an≥，∴P≥Q.
nn2
2
2
【答案】 B
4．若实数x＋y＋z＝1，则F＝2x＋y＋3z的最小值为( )
2
2
2
8
6
A．1 B．6 C．11 D.
11
1?11222?12
【解析】 ∵(2x＋y＋3z)?＋1＋?≥2x·＋y·1＋3z·＝(x＋y＋z)＝1，
3??223166222
∴2x＋y＋3z≥＝，即F≥，当且仅当2x＝y＝3z时，取等号．
1111116【答案】 D
149
5．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为( )
xyzA．24 B．30 C．36 D．48
?149?【解析】 (x＋y＋z)?＋＋?
?xyz?
＋z·?
≥?x·?
1
x＋y·
2
3?2
yz?
?＝36，
149
∴＋＋≥36.
xyz【答案】 C 二、填空题
6．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，则(a－1)＋(b＋2)＋(c－3)的最小值是__________．
【解析】 由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a－1)＋(b＋2)＋(c－3)]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]，
∴9[(a－1)＋(b＋2)＋(c－3)]≥(2a＋2b＋c－1). 49222
∵2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)＋(b＋2)＋(c－3)≥，
949222
∴(a－1)＋(b＋2)＋(c－3)的最小值是.
9【答案】
49 9
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7．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a＋4b＋9c的最小值为________． 【解析】 ∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.
112222222222
∴(a＋4b＋9c)(1＋1＋1)≥(a＋2b＋3c)，即a＋4b＋9c≥12.当且仅当＝＝
a2b12
，即a＝2，b＝1，c＝时取等号． 3c3
【答案】 12
9
8．设x，y，z∈R，若(x－1)＋(y＋2)＋z＝4，则3x－y－2z的取值范围是__________．又3x－y－2z取最小值时，x的值为__________．
【解析】 [(x－1)＋(y＋2)＋z][3＋(－1)＋ (－2)]≥(3x－3－y－2－2z)4×14≥(3x－y－2z－5)， ∴－214≤3x－y－2z－5≤214， 即5－214≤3x－y－2z≤5＋214. 若3x－y－2z＝5－214，又
2
2,
2
2
2
2
2
2
222
x－1y＋2
3＝＝＝t，
－1－2
z∴3(3t＋1)－(－t－2)－2(－2t)＝5－214， ∴t＝－
14314，∴x＝－＋1. 77
314
【答案】 [5－214，5＋214] －＋1
7三、解答题
9．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1. (1)求证：
x1≥；
y＋2zz＋2xx＋2y3
＋2
x2y2
＋z2
(2)求4＋4＋4z的最小值．
y?x＋y＋z?·(y＋2z＋z＋2x＋x＋
【解】 (1)证明：???y＋2zz＋2xx＋2y?
2y)≥
222
xy＋2z·y＋2z＋2
yz＋2x2
·z＋2x＋
zx＋2y·x＋2y＝1，
?x＋y＋z?≥1， 即3???y＋2zz＋2xx＋2y?
∴
1≥. y＋2zz＋2xx＋2y3
＋＋3
(2)由基本不等式，得4＋4＋4z≥3因为x＋y＋z＝1，
xy2
2
x2y2z2
4
x＋y＋z2，
?1?23322
所以x＋y＋z＝1－z＋z＝?z－?＋≥，
?2?44
3
故4＋4＋4z≥3
xy2
3
44＝32，
11
当且仅当x＝y＝，z＝时等号成立，
42所以4＋4＋4z的最小值为32.
10
xy2