10．已知f(x)＝ax＋bx＋c的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1·x2＝1时，必有f(x1)·f(x2)≥1.
【证明】 由于f(x)＝ax＋bx＋c， 且a，b，c大于0，
∴f(x1)·f(x2)＝(ax1＋bx1＋c)(ax2＋bx2＋c) ≥(ax1·ax2＋bx1·bx2＋c) ＝(ax1x2＋bx1x2＋c) ＝[f(x1x2)]＝[f(1)].
又f(1)＝a＋b＋c，且a＋b＋c＝1， ∴f(x1)·f(x2)≥1.
[能力提升]
4
1．若2a＞b＞0，则a＋的最小值为( )
?2a－b?·bA．1 C．8
【解析】 ∵2a＞b＞0，∴2a－b＞0，
841??
∴a＋＝??2a－b?＋b＋
?2a－b?·b??2a－b?·b2??318
≥·3?2a－b?·b·＝3. 2?2a－b?·b8当且仅当2a－b＝b＝，即a＝b＝2时等号成立，
?2a－b?·b4
∴当a＝b＝2时，a＋有最小值3.
?2a－b?·b【答案】 B
2．设a，b，c，x，y，z是正数，且a＋b＋c＝10，x＋y＋z＝40，ax＋by＋cz＝20，则
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
B．3 D.12
a＋b＋c＝( )
x＋y＋z1A. 41C. 2
2
2
1B. 33D. 4
2
2
2
2
2
【解析】 由柯西不等式得，(a＋b＋c)(x＋y＋z)≥(ax＋by＋cz)＝400，当且仅
abc1a＋b＋c1当＝＝＝时取等号，因此有＝. xyz2x＋y＋z2
【答案】 C
11
3．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝6，则2a＋2b＋1＋2c＋3的最大值为________.
【导学号：32750055】
【解析】 由柯西不等式得：(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝(1×2a＋1×2b＋1＋2
1×2c＋3)2
≤(12
＋12
＋12
)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48.
当且仅当2a＝2b＋1＝2c＋3， 即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立． 又a＋b＋c＝6，∴a＝8137
3，b＝6，c＝6时，
2a＋2b＋1＋2c＋3取得最大值43. 【答案】 43
4．△ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R. 求证：(a2
＋b2
＋c2
)?
?111?sin2A＋sin2B＋sin2C??
?
≥36R2.
【证明】 由三角形中的正弦定理，得
sin A＝a2R，所以14R2
sin2A＝a2，
22
同理14R14Rsin2B＝b2，sin2C＝c2，
于是由柯西不等式可得
2
4R2
4R2
左边＝(a2＋b2＋c2)??4R?a2＋b2＋c2???
≥??2R2R?
a·2Ra＋b·b＋c·c??2?
＝36R2
，
∴原不等式得证．
12