例33 设A是n阶矩阵。满足AA??I，A?0，求A?I
?1?3??1?例34 设三阶方阵A，B满足ABA?6A?BA,A?0???0??0140?0??0?求B。 ??1??7?
?10?01例35 矩阵A的伴随矩阵A*???10??0?3?00100??0?且ABA?1?BA?1?3E，求B 0??8??
四．初等变换与初等矩阵。
（2） 求AB?1
例36 设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B（1）证明：B可逆
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?a11?例37 设A?a21??a?31?0?P1??1?0?100a12a22a32a13??a21??a23,B?a11???a?aa33?11??31010a22a12a32?a12??a13
?a33?a13??a230??1??0?， P2??0?11???0??0? 则必有 ( ) 1??(A)AP1P2?B （B）AP2P1?B （C）P1P2A?B （D）P2P1A?B
五．向量及线性无关性
例38 n维向量组?1,?2,?3,?,?s，?3?s?n?线性无关的充分必要条件是 （ ）
（Ａ）存在一组不全为0的数k1,k2,?ks，使k1?1?k2?2???ks?s?0 （B）?1,?2,?3,?,?s中任意两个向量都线性无关
（C）?1,?2,?3,?,?s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示 （D）?1,?2,?3,?,?s中任意一个向量都不能用其余向量线性表示
例39设A是4阶矩阵，A?0，则A中 （ ）
（A） 必有一列元素全为0 （B）必有两列元素对应成比例
(C) 有一列向量是其余列向量的线性组合 （D）任一列向量是其余列向量的线性组合
例40 已知向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则（ ）
（A）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1无关 （B）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1无关
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（C）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1无关 （D）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1无关
例41 设向量组?1,?2,?3，线性无关，向量?1可由?1,?2,?3线性表示，而向量?2不能由?1,?2,?3线
性表示，则对任意常数k必有
（A） ?1,?2,?3,k?1??2线性无关 （B）?1,?2,?3,k?1??2线性相关 （C）?1,?2,?3,?1?k?2线性无关 （D）?1,?2,?3,?1?k?2线性相关
例42 设向量?可由?1,?2,?,?m线性表示，但不能由向量组（I）：?1,?2,?,?m?1线性表示。记向
量组（II）：?1,?2,?,?m?1，?则
（A）?m不能由（I）线性表示，也不能由（II）线性表示 （B）?m不能由（I）线性表示，但能由（II）线性表示 （C） ?m可由（I）线性表示，也可由（II）线性表示 （D）?m可由（I）线性表示，但不能由（II）线性表示
例43 设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 （ ）
（A）?1??2,?2??3,?3??1 （B）?1??2,?2??3,?1?2?2??3
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（C）?1?2?2,2?2?3?3,3?3??1 （D）?1??2??3,2?1?3?2?22?3,3?1?5?2?5?3
例44设向量组?1,?2,?3，线性相关，设向量组?2,?3,?4线性无关。问：（1）?1能否由?2,?3线性表
示；（2）?4能否由?1,?2,?3线性表示。证明你的结论。
例45已知向量组
?2??2,0,t,0?， ?3??0,?4,5,?2?的秩为2，求t= ( ) 例46已知向量组?1??1,2,?1,1?，?1?(1,2,3,4),?2?(2,3,4,5),?3?(3,4,5,6),?4?(4,5,6,7),则该向量组的秩为（ ）
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?1?例47 A是4?3矩阵，且r(A)=2，B=0???1?0202??0则r(AB)=( ) ?3??
?a1b1??a2b1例48设A=????ab?n1a1b2a2b2?anb2????a1bn??a2bn?，其中ai?0, bi?0, i?1,2?n, 求r?A? ???anbn??
?1?a?例49设n (n?3) 阶矩阵A=?a??....?a?a1a....a....................a??a?a?若r(A)=n-1则a必为（ ） ?...?1??(A) 1 (B)1/1-n (c)-1 (D)1/n-1
例50设A=I-??T其中I是n阶单位矩阵，?是n维非零列向量，?是?的转置，证明：（1）A2?A
TTT的充要条件是? ?=1（2）当? ?=1时，A是不可逆矩阵
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