必修一 第二章 函数
一、函数的三要素——定义域、值域、对应法则 1、 求定义域的各种方法 ① 整式 ② 分式
③ 开偶此方、零次幂或负数次幂的底数 例题：已知函数f (x) =
例题：若函数f?x??
④ 实际背景问题
例题 设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.
⑤ 含参数问题 例题. 求函数f(x)?
⑥ 复合函数
(1)、已知f(x)的定义域，求f?g(x)?的定义域
思路：设函数f(x)的定义域为D，即x?D，所以f的作用范围为D，又f对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)?D，解得x?E，E为f?g(x)?的定义域。 例题 设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f??2x?3?的定义域。
例题 若函数f(x)?1x?1ax?1x?3?1x?2
1mx?6mx?m?82定义域为R，计算实数m的取值范围。
的定义域。
，则函数f?f(x)?的定义域为______________。
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必修一 第二章 函数
例题 已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求函数f(x)的定义域。
（2）、已知f?g(x)?的定义域，求f(x)的定义域
思路：设f?g(x)?的定义域为D，即x?D，由此得g(x)?E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以x?E，E为f(x)的定义域。
例题 已知f(3?2x)的定义域为x???1，2?，则函数f(x)的定义域为_。
例题 已知函数f(3?2x)的定义域为[?3,3]，求f(x)的定义域。
（3）、已知f?g(x)?的定义域，求f?h(x)?的定义域
思路：设f?g(x)?的定义域为D，即x?D，由此得g(x)?E，f的作用范围为E，又f对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x)?E，解得x?F，F为f?h(x)?的定义域。 例题 已知函数y?f?x?2?的定义域为??1,0?，求f
⑦ 分段函数
例题 已知函数由下表给出，求其定义域
X Y
?2x?2x?[?1,0];?xx?(0,2);的定义域 例题．求函数f(x)???12?x?[2,??);?32?2x?1?的定义域。
1 22 2 3 3 14 4 35 5 －6 6 17
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2、 求值域的各种方法
① 观察法:有的函数的结构并不复杂，可以通过对函数解析式的简单变形和观察，利用熟
知的函数的值域求出函数的值域；图像法:先作出函数的图像，观察函数图像的“最高点”和“最低点”，采用数形结合的方法求得函数的值域一般求分段函数的值域常用此法。 ② 配方法:对二次函数型的解析式先进行配方，并充分注意到自变量的取值范围，利用求
二次函数值域的方法求函数的值域. 例题 求函数y＝2x＋4x的值域。
③ 判别式法:形如y?a1x?b1x?c1a2x?b2x?c2222
(a1、a2不同时为零)的函数，当分子和分母没有公因
式时(分母有公因式时，先消去公因式)将函数的解析式转化为关于目变量x(或某个代数
式)的一元二次方程，利用一元二次称有实根的条件是判别式△≥0，得到关于y的不等式，解此不等式即可得到值域.
2x?2x?3例题. 求函数y?的值域。 24x?5x?6
例题：求函数y?
例题：求函数y?x?x?1的解析式、定义域和值域
④ 换元法:通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，利用
这些函数的取值范围求函数的值域.用换元法求函数的值域时，要注意换元后辅助元(也叫中间变量)的取值范围.形如y=ax+b+cx+d ( a,b,c,d均为常数，ac≠0)的函数，求值域时常用换元法. 例题. 求函数
y?2x?41?xx?5x?6x?622的值域
的值域。
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必修一 第二章 函数
⑤ 分离常数法:形如y=
ccx+dax+b?a?0?的函数，经常采用分离常数法，将
cx+dax+b
变形为a?ax+b?+d-ax+bbca=ca+d-bca再结合x的取值范围确定的取值范围，
ax+b
d-bca的值域. ax+b从而确定函数
y?2x?3x?1的值域
例题. 求函数
⑥ 单调性法 例题. 求函数y?
?2x?3，x∈［4，5］的值域。
⑦ 分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。 ?x,x?[1,2]?2y?例题. 求函数的值域。 ?x,x?(2,3]?2x?1,x?(3,4]?
3、 求函数解析式
① 待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； 例题 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式
例题 求实系数的一次函数f(x)，使f?f(x)??4x?3
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② 换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；也可以用拼凑的方法，已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))
的解析式中拼凑出“g(x)”作为整体来表示，再将解析式两边的g(x)都用x代替即可。 例题 已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。
f(x?1x)?x?x?1x22例题 已知
，试求f(x)。
例题 已知f(x?
1x)?x?21x2，求函数f(x)的解析式。
③ 构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x
代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式； 例题 已知f?x??f??1?2??3x?4x?5，试求f?x??x?；
例题 已知f?x??2f??x??3x?4x?5，试求f?x?；
2
例题 若f?x??3f?1?x??2x，求f?x?；
④ 根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等
量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，
还受其实际意义限定。
例题 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发，顺次经过C、D再到A停止。设x表示P行驶的路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。
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