（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x3?3ax2?9a2x?a3. (1) 设a?1，求函数f?x?的极值； (2) 若a?1'，且当x??1,4a?时，f(x)?12a恒成立，试确定a的取值范围. 4请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲
如图，已知?ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，?B=60，F在AC上，且AE?AF。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
?
（1）证明：B,D,H,E四点共圆；
（2）证明：CE平分?DEF。
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
?x??4?cost,?x?8cos?, 已知曲线C1：? （t为参数）， C2：?（?为参数）。
y?3?sint,y?3sin?,??（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t??，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线 2联系方式： 010-86978430 13717900386 QQ：32166787 E-mail:vipnet@vip.qq.com
C?x?3?2t,3:?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ?y??2?t （t为参数）距离的最小值。
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C到B距离的6倍的和. （1）将y表示为x的函数；
（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？
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2009年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一．
选择题
（1）D （2）C （3）C （4）A （5）B (6)B （7）A （8）C （9）D （10）B （11）A (12)C 二．
填空题
(13) y?3x?1 (14)y2?4x (15)
152 (16)0 三． 解答题
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(17) 解：
作DM//AC交BE于N，交CF于M．
DF?MF2?DM2?302?1702?10198，DE?DN2?EN2?502?1202?130，
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EF?(BE?FC)2?BC2?902?1202?150． ．．．．．．6分
在?DEF中，由余弦定理，
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DE2?EF2?DF21302?1502?102?29816cos?DEF???. ．．．．．．12分
2DE?EF2?130?15065（18）解：
（Ⅰ）因为?PAB是等边三角形，
?PAC??PBC?90?,
所以Rt?PBC?Rt?PAC,可得AC?BC。 如图，取AB中点D，连结PD,CD, 则PD?AB,CD?AB, 所以AB?平面PDC,
所以AB?PC。 ．．．．．．6分（Ⅱ）作BE?PC，垂足为E，连结AE． 因为
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Rt?PBC?Rt?PAC，
所以AE?PC，AE?BE．
由已知，平面PAC?平面PBC，故?AEB?90?． ．．．．．．8分 因为Rt?AEB?Rt?PEB，所以?AEB,?PEB,?CEB都是等腰直角三角形。 由已知PC?4，得AE?BE?2， ?AEB的面积S?2． 因为PC?平面AEB， 所以三角锥P?ABC的体积
18V??S?PC? ．．．．．．．12分
33（19）解：
（Ⅰ）A类工人中和B类工人中分别抽查25名和75名。 ．．．．．．4分
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（Ⅱ）(ⅰ)由4?8?x?5?3?25，得x?5， 6?y?36?18?75，得y?15。频率分布直方图如下
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．．．．．．8分
从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小。 ．．．．．．9分
48553?105??115??125??135??145?123， 25252525256153618?115??125??135??14?5，133. xB? 8757575752575?123??133.?81 31.1 x?100100 （ii） xA?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1. （20）解：
（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得{
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a?c?1, 解得a=4,c=3,
a?c?7.
x2y2??1.所以椭圆C的方程为
167w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）设M（x,y）,P(x,y1),其中x???4,4?.由已知得
x2?y122?e. 22x?y而e?32222，故16(x?y1)?9(x?y). ① 421w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 112?7x2,由点P在椭圆C上得 y?16
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代入①式并化简得9y2?112,
所以点M的轨迹方程为y??（21）解：
47(?4?x?4),轨迹是两条平行于x轴的线段.3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅰ）当a=1时，对函数f(x)求导数，得
f'(x)?3x2?6x?9.
令 f'(x)?0,解得x1??1,x2?3.列表讨论f(x),f'(x)的变化情况：
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x f'(x) (??,?1) + ?1 0 极大值6 （-1，3） — 3 0 极小值-26 (3,??) + f(x) ? ? ? 所以，f(x)的极大值是f(?1)?6，极小值是f(3)??26.
（Ⅱ）f'(x)?3x2?6ax?9a2的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称. 若
1?a?1,则f'(x)在[1,4a]上是增函数，从而4w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
f'(x)在[1,4a]上的最小值是f'(1)?3?6a?9a2,最大值是f'(4a)?15a2.
由|f'(x)|?12a,得?12a?3x2?6ax?9a2?12a,于是有
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f'(1)?3?6a?9a2??12a,且f'(4a)?15a2?12a.
14?a?1,由f'(4a)?12a得0?a?. 3511414所以a?(,1]?[?,1]?[0,],即a?(,].
43545由f(1)??12a得?'w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若a>1,则|f(a)|?12a?12a.故当x?[1,4a]时|f(x)|?12a不恒成立.
'所以使|f(x)|?12a(x?[1,4a])恒成立的a的取值范围是(,].'2'1445w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（22）解：
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