∴共有3种改造方案：方案一：A类学校有1所，B类学校有7所；方案
二：A类学校有2所，B类学校有6所；方案三：A类学校有3所，B类学校有5所。
（1）求G点坐标； （2）求直线EF解析式；
（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1。
∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°。
∴BG?FG2?FB2?22?12?3。∴G点的坐标为（3，4－3）。 （2）设直线EF的解析式是y=kx+b，
在
Rt△BFG
中
，
c?osFB1B?FG?，∴∠BFG=60°。FG2∴∠AFE=∠EFG=60°。
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∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=23。∴E点的坐标为（0，4－23）。 又F点的坐标是（2，4），
??b?4?23?k?3?∴?， 解得?。
2k?b?4????b?4?23∴直线EF的解析式为y?3x?4?23。 （3）存在。M点的坐标为（
（3?431?43， 3），（， ?3），331+43， 8?3 ）。 3【考点】一次函数综合题，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=AB－AF=1，则在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标。
（2）由题意，可知△AEF为含30度角的直角三角形，从而可求出E点坐标；又F
点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式。
（3）分FG为平行四边形边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四
边形的形状：
若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以
下情形：
①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示。 过M1点作M1H⊥x轴于点H，易证△M1HN1≌△GBF， ∴M1H=GB=3，即yM1=3。
由直线EF解析式y?3x?4?23，求出xM1?∴M1（3?43。 33?43， 3）。 3②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示。 仿照与①相同的办法，可求得M2（1?43， ?3）。 3③FG为平行四边形的对角线，如图3所示。
过M3作FB延长线的垂线，垂足为H．易证△M3FH≌△GN3C，
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则有M3H=CG=43，所以M3的纵坐标为8－3。 代入直线EF解析式，得到M3的横坐标为∴M3（1+43。 31+43， 8?3）。 3综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，点
M的坐标为：M1（3?431?431+43， 3），M2（， ?3），M3（， 8?3 ）。 33- 18 - 3