抗混叠滤波抽取前后信号的时域和频域示意图
2.2 整数因子内插
信号的插值是提高频率的方法。直接的思路当然是先把用采样频率fs1采
样得到的数字信号x(n),通过D/A转换变成模拟信号xa(t),然后再用提高的频率fs2通过A/D转换变成数字信号。但是，同样因为易引进信号的损伤，而在实际应用中不加以采用。这里我们只讨论直接在数字域进行插值来提高采样频率的方法。
整数I倍内插是在已知的相邻两个原采样点之间插入I－1个新采样值的点。 由于这I－1个采样值并非已知的值， 所以关键问题是如何求出这I-1个采样值。
内插原理图
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内插概念示意图
内插过程时域波形
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整数倍内插的频域解释
设x(n1 T1)为模拟信号xa(t)的采样序列， 并假定xa(t)及其傅里叶变换Xa(jΩ)如图所示。
按照内插的概念， y(n2 T2)应为以采样间隔T2对xa (t)的采样序列， 且满足T2=T1/I。
ej? ?和 X ? j? )均为周期函数， 若二者都用模拟频率Ω表示， 则周Y(e12期Ωsa2=2π/T2=2π/(T1/I)=IΩsa1。
I=3 两者频谱相同
??T1??x?n?，当n2?0,?I,?2I,?v(n2T2)???2I???0，其它v(n2 T2)的傅里叶变换为
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V(ej?2)?n2?????v(n2T2)e?j?2n2?n2?????v(n2T2)e?j?T2n2??n2??j?T1n2/I??x?T1?e??x(n1T1)e?j?T1n1n2/I?n1?In1?????X(ej?T1)?X(ej?1)上式表明： 二者频谱相同
实质上， v(n2 T2)的信息与x(n1 T1)完全相同， 所以二者应具有相同的频谱。 零值内插前后的时域信号及其频谱
镜像频谱，想恢复原信号，就必须滤除这些镜像频谱
j?2(e )有一定的过渡带， 可用线性相实际工作中Ωsa1>2Ωc， 所以允许 H
位FIR滤波器实现。 根据其功能， 将h(n2 T2)称为镜像滤波器。
将理想镜像滤波器的阻带截止频率换算成数字频率为
?sa12T2?πT1π=T1II所以， 理想情况下， 镜像滤波器h(n2 T2)的频率响应特性为
H(e
j?2??C, 0??2??I)????0, ?I??2??8
式中， C为定标系数。 可以推导出定标系数C=I。
镜像滤波器的理想幅频特性
内插器时域输入、 输出关系
y(n2T2)???n1?????????x(n1T1)h?n2T2?n1T1?x(n1T1)h?n2T2?n1T1?x(n1T1)h?n2?n1I?T2]n1???n1???内插器频域输入、 输出关系 通过前面的推导，已知
V(ej?2)?X(ej?1)j?j?j?j?j?j?Ij?所以 Y(e2)??V(e2)H(e2)?X(e1)H(e2)?X(e2)H(e2)2.3 I/D的采样率转换
前面已经讨论了降低采样频率的D整数倍抽取以及提高采样频率的I整数倍插值。按照这种思想，抽取盒内插按排列组合有两种情况，即可先抽取再内插，也可先内插再抽取，但是在实际应用中，应先进行插值，后进行抽取，这是因为，先抽取会减少x(n)的数据，可能造成频率成分的损失，为了最大限度地保留输入序列的概率成分，合理的做法是先做I整数倍插值，后做D整数倍抽取。显然，这样的系统可以由D整数倍抽取盒I整数倍插值级联而成，原理图如下所示：
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