第2章 符号运算
习题2及解答
1 说出以下四条指令产生的结果各属于哪种数据类型，是“双精度”
对象，还是“符号”符号对象？
3/7+0.1; sym(3/7+0.1); sym('3/7+0.1'); vpa(sym(3/7+0.1))
〖目的〗
? 不能从显示形式判断数据类型，而必须依靠class指令。 〖解答〗
c1=3/7+0.1
c2=sym(3/7+0.1) c3=sym('3/7+0.1') c4=vpa(sym(3/7+0.1)) Cs1=class(c1) Cs2=class(c2) Cs3=class(c3) Cs4=class(c4) c1 =
0.5286 c2 = 37/70 c3 =
0.52857142857142857142857142857143 c4 =
0.52857142857142857142857142857143 Cs1 = double Cs2 = sym Cs3 = sym Cs4 = sym
2 在不加专门指定的情况下，以下符号表达式中的哪一个变量被认
为是自由符号变量.
sym('sin(w*t)'),sym('a*exp(-X)'),sym('z*exp(j*th)')
〖目的〗
? 理解自由符号变量的确认规则。 〖解答〗
symvar(sym('sin(w*t)'),1) ans = w
symvar(sym('a*exp(-X)'),1) ans = a
1
symvar(sym('z*exp(j*th)'),1) ans = z
?a115求符号矩阵A???a21??a31〖目的〗
? 理解subexpr指令。 〖解答〗
a12a22a32a13?a23?所得结果应采用“子?的行列式值和逆，a33??表达式置换”简洁化。
A=sym('[a11 a12 a13;a21 a22 a23;a31 a32 a33]')
DA=det(A) IA=inv(A);
[IAs,d]=subexpr(IA,d) A =
[ a11, a12, a13] [ a21, a22, a23] [ a31, a32, a33] DA =
a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 IAs = [ d*(a22*a33 - a23*a32), -d*(a12*a33 - a13*a32), d*(a12*a23 - a13*a22)] [ -d*(a21*a33 - a23*a31), d*(a11*a33 - a13*a31), -d*(a11*a23 - a13*a21)] [ d*(a21*a32 - a22*a31), -d*(a11*a32 - a12*a31), d*(a11*a22 - a12*a21)] d =
1/(a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31)
8（1）通过符号计算求y(t)?sint的导数
dy求dtdy和dt?2dy。（2）然后根据此结果，dt。
t?0?t?〖目的〗
? diff, limit指令的应用。 ? 如何理解运行结果。 〖解答〗
syms t
y=abs(sin(t))
2
d=diff(y) %求dy/dt
d0_=limit(d,t,0,'left') %求dy/dt|t=0- dpi_2=limit(d,t,pi/2) %求dy/dt|t=pi/2 y =
abs(sin(t)) d =
sign(sin(t))*cos(t) d0_ = -1
dpi_2 = 0
9求出?1.7??10?e?xsinxdx的具有64位有效数字的积分值。
〖目的〗
? 符号积分的解析解和符号数值解。 ? 符号计算和数值计算的相互校验。 〖解答〗
（1）符号积分
syms x clear syms x
y=exp(-abs(x))*abs(sin(x))
si=vpa(int(y,-10*pi,1.7*pi),64) y =
abs(sin(x))/exp(abs(x)) si =
1.087849499412904913166671875948174520895458535212845987519414166
（2）数值计算复验
xx=-10*pi:pi/100:1.7*pi;
sn=trapz(exp(-abs(xx)).*abs(sin(xx)))*pi/100 sn =
1.0877
10计算二重积分?12?x21(x2?y2)dydx。
〖目的〗
? 变上限二重积分的符号计算法。 〖解答〗
syms x y f=x^2+y^2;
r=int(int(f,y,1,x^2),x,1,2) r =
1006/105
11在[0,2?]区间，画出y(x)??x0sintdt曲线，并计算y(4.5)。 t〖目的〗
? 在符号计算中，经常遇到计算结果是特殊经典函数的情况。
3
? 如何应用subs获得超过16位有效数字的符号数值结果。 ? 初步尝试ezplot指令的简便。 〖解答〗
（1）符号计算
syms t x; f=sin(t)/t;
y=int(f,t,0,x) % 将得到一个特殊经典函数 y5=subs(y,x,sym('4.5')) ezplot(y,[0,2*pi]) y =
sinint(x) y5 =
1.6541404143792439835039224868515 sinint(x)1.81.61.41.210.80.60.40.200123x456
（2）数值计算复验
tt=0:0.001:4.5; tt(1)=eps;
yn=trapz(sin(tt)./tt)*0.001 yn =
1.6541
?12在n?0的限制下，求y(n)?13?20sinnxdx的一般积分表达式，并
计算y()的32位有效数字表达。
〖目的〗
? 一般符号解与高精度符号数值解。 〖解答〗
syms x
syms n positive
4
f=sin(x)^n;
yn=int(f,x,0,pi/2)
y3s=vpa(subs(yn,n,sym('1/3'))) y3d=vpa(subs(yn,n,1/3)) yn =
beta(1/2, n/2 + 1/2)/2 y3s =
1.2935547796148952674767575125656 y3d =
1.2935547796148951782413405453553
13有序列x(k)?ak，h(k)?bk，（在此k?0，a?b），求这两个序列的卷积y(k)??h(n)x(k?n)。
n?0k〖目的〗
? 符号离散卷积直接法和变换法。 〖解答〗 （1）直接法
syms a b k n x=a^k; h=b^k;
w=symsum(subs(h,k,n)*subs(x,k,k-n),n,0,k) %据定义 y1=simple(w) w =
piecewise([a = b, b^k + b^k*k], [a <> b, (a*a^k - b*b^k)/(a - b)]) y1 =
piecewise([a = b, b^k + b^k*k], [a <> b, (a*a^k - b*b^k)/(a - b)])
（2）变换法（复验）
syms z
X=ztrans(a^k,k,z); H=ztrans(b^k,k,z);
y2=iztrans(H*X,z,k) %通过Z变换及反变换 y2 =
piecewise([b <> 0, (a*a^k)/(a - b) - (b*b^k)/(a - b)])
〖说明〗
? 符号计算不同途径产生的结果在形式上有可能不同，而且往往无法依靠符号计算本身的
指令是它们一致。此时，必须通过手工解决。
15求f(t)?Ae??t,??0的Fourier变换。
〖目的〗
? 符号变量限定性定义的作用。 ? fourier指令的应用。 〖解答〗
syms A t w
a=sym('a','positive'); f=A*exp(-a*abs(t)); y=fourier(f,t,w) F=simple(y) y =
(2*A*a)/(a^2 + w^2)
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