专题： 平面向量及应用．
分析： 以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．
解答： 解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系， 因为∠B=
，|
﹣
|=|
|=2，所以C（1，
），设A（x，0）
因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不
与D，E重合），所以1＜x＜4， 则
=x﹣x=（x﹣）﹣，所以
2
2
的范围为（0，12）．
故答案为：（0，12）．
点评： 本题考查了向量的几何意义以及利用坐标法求数量积范围；属于中档题．
三、解答题；（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16．已知向量=（1，2），=（1，﹣1）． （Ⅰ）求（Ⅱ）设向量
；
，若与的夹角为钝角，求实数x的取值范围．
考点： 数量积表示两个向量的夹角；向量的模． 专题： 平面向量及应用．
分析： （Ⅰ）由题意可得2﹣的坐标，由模长公式可得； （Ⅱ）可得向量的坐标，由与的夹角为钝角可得解答： 解：（Ⅰ）∵=（1，2），=（1，﹣1）， ∴2﹣=（2，4）﹣（1，﹣1）=（1，5），
＜0，解不等式排除向量反向可得．
∴（Ⅱ）可得
==；
2
2
=（x+x，2x﹣x），
=（x+x）﹣（2x﹣x）＜0，
2
2
由与的夹角为钝角可得解方程可得0＜x＜，
若向量反向则x+x+2x﹣x=0，解得x=0， 此时向量为，不满足题意， ∴实数x的取值范围为（0，）．
点评： 本题考查平面向量的夹角，涉及向量的模长公式，属基础题．
17．已知等差数列{an}的公差d＜0，a3a5=112，a4=11． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，当n为何值时，Sn取得最大值？并求此最大值．
考点： 等差数列的前n项和；等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （Ⅰ）根据等差数列的通项公式建立方程组关系求出首项和公差即可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）根据数列的通项公式，求出an=23﹣3n≥0得值，即可得到结论． 解答： 解：（Ⅰ）∵等差数列{an}的公差d＜0，a3a5=112，a4=11． ∴（a4﹣d）（a4+d）=112， 即（11﹣d）（11+d）=112，
2
则121﹣d=112，
2
即d=9，d=﹣3， ∵a4=a1+3d=11， ∴a1=20，
则数列{an}的通项公式an=20﹣3（n﹣1）=23﹣3n； （Ⅱ）∵an=23﹣3n，
22
∴由an=23﹣3n≥0得n≤即当1≤n≤7时，an＞0， 当n≥8时，an＜0，
；
∴当n=7时，Sn取得最大值，求此最大值S7=
=77．
点评： 本题主要考查等差数列的通项公式以及前n项和的性质，根据方程组求出首项和公差是解决本题的关键．
18．已知x＞0，y＞0，x+2y﹣xy=0． （Ⅰ）求xy的最小值；
（Ⅱ）求x+y的最小值．
考点： 基本不等式．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： （I）由于x＞0，y＞0，x+2y﹣xy=0．变形利用基本不等式的性质即可得出．
（II）由x+2y=xy，解得y=＞0，解得x＞2．变形x+y=x+=x﹣2++2，再利
用基本不等式的性质即可得出． 解答： 解：（I）∵x＞0，y＞0，x+2y﹣xy=0．
∴xy=x+2y，化为xy≥8，当且仅当x=2y=4时取等号． ∴xy的最小值是8； （II）由x+2y=xy，解得y=∴x+y=x+
=x﹣2+
+2≥2
＞0，解得x＞2．
+2=2
+2，当且仅当x=2+
，y=1+
时取等号．
∴x+y的最小值为2+2．
点评： 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于基础题．
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足（Ⅰ）求{an}的通项公式an； （Ⅱ）记
，求
．
．
考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （I）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出； （II）利用“裂项求和”即可得出．
解答： 解：（I）∵满足
∴当n=1时，a1=2﹣（2+1）a1，解得a1=．
，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=
﹣，化为．
∴数列∴∴
=
．
是等比数列，首项为，公比为． ．
（Ⅱ）∴∴
=
=． =
=
．
+
+…+
=2=3﹣
．
点评： 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．已知数列{an}满足：a1=1，an=（Ⅰ）证明：{bn}是等差数列； （Ⅱ）求数列{an}的前n项和．
考点： 数列递推式；数列的求和． 专题： 证明题；等差数列与等比数列．
，设bn=3
n﹣1
（an+1）．
分析： （Ⅰ）由已知可得bn﹣bn﹣1=2，即可证明，
（II）由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．
解答： 解：（Ⅰ）证明：∵a1=1，an=∴3an=an﹣1+∴bn﹣bn﹣1=3=3=3
n﹣2
n﹣1
，
﹣2（n≥2）， an+3
n﹣1
﹣3
n﹣2
an﹣1﹣3
n﹣2
（an﹣1+（an﹣1+
﹣2﹣an﹣1）+2?3﹣2﹣an﹣1+2）
n﹣2
n﹣2
=2．
∴则{bn}是首项为2，公差为2的等差数列． （Ⅱ）∵bn=3∴sn=1+（=
+
++
n﹣1
（an+1）=2+（n﹣1）2，可解得：an=）+（+…++…+
﹣1）+（+2﹣n，① +6﹣3n，②
﹣1）+…+（
，
）
3sn=2×2+
∴②﹣①可得：2sn=+∴sn=+
+…+
﹣
+…+﹣+8﹣2n，
﹣n﹣
．
+4﹣n=﹣
点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求通项公式及数列的求和，属于中档题．
21．若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数． （Ⅰ）判断下列函数：①y=x；②
x
2
*
；③y=log2x中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（Ⅱ）判断函数f（x）=2+1是否为等比源函数，并证明你的结论；
*
（Ⅲ）证明：?d，b∈N，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．
考点： 等比数列的性质．
分析： （Ⅰ）直接举例说明题目给出的三个函数都是“等比源函数”；
x
（Ⅱ）利用反证法思想证明函数f（x）=2+1不是等比源函数； （Ⅲ）首先证明数列{g（n）}为等差数列，然后验证g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]构成等比数列，从而说明结论的正确性．
2
解答： （Ⅰ）解：对于函数y=x，分别取x=1，2，4，对应的函数值为1，4，16，构成
2
等比数列，符合等比源函数定义，∴函数y=x是等比源函数；
对于函数，分别取x=1，2，4，对应的函数值为1，
是等比源函数；
，构成等比数列，符合等比
源函数定义，∴函数
对于函数y=log2x，分别取x=2，4，16，对应的函数值为1，2，4，构成等比数列，符合等比源函数定义，∴函数y=log2x是等比源函数． ∴①②③都是等比源函数；
x
（Ⅱ）解：函数f（x）=2+1不是等比源函数． 证明如下：
假设存在正整数m，n，k且m＜n＜k，使得f（m），f（n），f（k）成等比数列，则 n2mk2nn+1m+kmk（2+1）=（2+1）（2+1），整理得2+2=2+2+2，
m2n﹣mn﹣m+1kk﹣m
等式两边同除以2，得2+2=2+2+1．
∵n﹣m≥1，k﹣m≥2，∴等式左边为偶数，等式右边为奇数，
∴等式2+2=2+2+1不可能成立，
x
∴假设不成立，说明函数f（x）=2+1不是等比源函数；
*
（Ⅲ）证明：∵?b，n∈N，都有g（n+1）﹣g（n）=d，
*
∴?d，b∈N，数列{g（n）}都是以g（1）为首项，公差为d的等差数列．
*2
?d，b∈N，g（1），g（1）（1+d），g（1）（1+d）成等比数列， ∵g（1）（1+d）=g（1）+（g（1）+1﹣1）d=g[g（1）+1]，
2
g（1）（1+d）=g（1）+（2g（1）+g（1）d+1﹣1）d=g[2g（1）+g（1）d+1]，
*
∴g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]∈{g（n）|n∈N}，
*
∴?d，b∈N，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．
2n﹣m
n﹣m+1
k
k﹣m
点评： 本题考查了等比数列的性质，是新定义题，解答的关键是通过举例验证证明，是中档题．