常州市教育学会学业水平监测高三数学试题
2012年1月
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
a1．已知集合A?{?1，0，2}，B?{2}，若B?A，则实数a的值为 ．
2．若z?z?z?3．已知双曲线
154?2i（i为虚数单位），则复数z= ．
x29?yb22?1(b?0)的一条渐近线的倾斜角为
?3，则b的值为 ．
4．用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高一年级、高二年级分别抽取10人、25人．若该校高三年级共有学生400人，则该校高一和高二年级的学生总数为 人．
5．用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是 ． 6．函数f(x)?cos(x??2)?cos(x??6)的最小正周期为 ．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
xa22?yb22?1(a?b?0)的右顶点为A，上顶点为B，
M为线段AB的中点，若?MOA?30?，则该椭圆的离心率的值为 ．
8．已知等比数列{an}的各均为正数，且a1?2a2?3，a42?4a3a7，则数列{an}的通项公式为 ．
9．设m?R，已知函数f(x)??x2?2mx2?(1?2m)x?3m?2，若曲线y?f(x)在x?0处的切线恒过定点P，则点P的坐标为 ． 10．对于函数y?f(x)(x?R)，给出下列命题：
（1）在同一直角坐标系中，函数y?f(1?x)与y?f(x?1)的图象关于直线x?0对称； （2）若f(1?x)?f(x?1)，则函数y?f(x)的图象关于直线x?1对称； （3）若f(1?x)?f(x?1)，则函数y?f(x)是周期函数；
（4）若f(1?x)??f(x?1)，则函数y?f(x)的图象关于点（0，0）对称． 其中所有正确命题的序号是 ．
11．设函数y?f(x)在R内有定义，对于给定的正数k，定义函数fk(x)??若函数f(x)?log3|x|，则当k?13?f(x)，f(x)>k，?k，f(x)≤k，时，函数fk(x)的单调减区间为 ．
ACBC?BCAC?AB212．已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则
BC?AC的最大值
为 ． 13．已知函数f(x)?2x(x?R)，且fx，其中g(x)为奇函数，若()gx?()hx()?h(x)为偶函数．不等式2a?g(x)?h(2x)≥0对任意x?[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是 ．
14．已知a，b，c均为正实数，记M?max??11a??b，?bc，?c?，则M的最小值
ab?ac?为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤．
1
15．（本小题满分14分）
已知m、x?R，向量a?(x，?m)，b?((m?1)x，x)． （1）当m?0时，若|a|<|b|，求x的取值范围； （2）若a?b>1?m对任意实数x恒成立，求m的取值范围．
16．（本小题满分14分）
如图，斜三棱柱A1B1C1?ABC中，侧面AA1C1C?底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，
E A1 C1
?A1AC?60，E、F分别是A1C1、AB的中点．求证：
?B1 （1）EF∥平面BB1C1C； （2）平面CEF⊥平面ABC．
17．（本小题满分14分）
A
F B C 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足8Sn?an2?4an?3(n?N?)，且
a1，a2，a7依次是等比数列{bn}的前三项．
（1）求数列{an}及{bn}的通项公式；
（2）是否存在常数a>0且a?1，使得数列{an?logabn}(n?N?)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2?y2?1与x轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为x?m．记以AB为直径的圆为⊙C，记以点F为右焦点、短半轴长为b（b?0，b为常数）的椭圆为D．
（1）求⊙C和椭圆D的标准方程；
（2）当b?1时，求证：椭圆D上任意一点都不在⊙C的内部；
（3）已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与x轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点（点P在x轴上方），点P关于x轴的对称点为N，设直线QN交x?????????轴于点L，试判断OM?OL是否为定值？并证明你的结论．
2
19．（本小题满分16分）
如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2a的正方形，周围是四个全等的弓形．已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H．设弧AD的长为l，
?APH??，??(?3?，)． 44A
H G P B
O D （1）求l关于?的函数关系式； （2）定义比值
OPl为招贴画的优美系数，当优
美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角?满足：
??tan(???4)时，招贴画最优美．
20．（本小题满分16分）
设a为实数，函数f(x)?x|x2?a|．
C （1）当a?1时，求函数f(x)在区间[?1，1]上的最大值和最小值；
（2）求函数f(x)的单调区间．
常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题） 2012年1月
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，⊙O是△ABC的外接圆，延长BC边上的高AD交⊙O于点E，H为△ABC的垂心．求证：DH=DE．
B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
O ?2求矩阵M???14??的特征值及对应的特征向量． ?1?A H D E C B C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
3
在极坐标系中，O为极点，求过圆C：??6cos(??线l的极坐标方程．
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知x，y均为正实数，求证：
14x?14y?3)的圆心C且与直线OC垂直的直
≥
1x?y．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答．．．．．．．．
时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．http
22．已知斜率为k(k?0)的直线l过抛物线C:y2?4x的焦点F且交抛物线于A、B两点． 设线段AB的中点为M． （1）求点M的轨迹方程；
（2）若?2 23．已知正项数列{an}中，a1?1，an?1?1?an1?an(n?N)．用数学归纳法证明： ?13）的距离总 15，求m的取值范围． an ?常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅰ试题参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．1 2．?12?2i 3．33 4．700 5． 6．π 7．3263 8． -32n 9．(,?) 223110．（3）（4） 11．(??,?33]（开区间也对） 12．22 13．a≥1712 14． 2 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 解：（1）a?x2?m2， b?(m?1)2x2?x2， ……………………4分 因为a?b，所以a?b ． 从而x2?m2?(m?1)2x2?x2． 2222 4 因为m?0，所以(解得x??mm?1mm?1)?x22， …………………………6分 或x?mm?1． …………………………8分 （2）a?b?(m?1)x2?mx． ………………………10分 由题意，得(m?1)x2?mx?1?m对任意的实数x恒成立， 即(m?1)x2?mx?m?1?0对任意的实数x恒成立． 当m?1?0，即m??1时，显然不成立， 从而??m?1?0,?m?4(m?1)(m?1)?0.2 ……………………………12分 ?m??1,23?解得?2323 所以m?3,或m??.?m?33?． ………………………14分 16．（本小题满分14分） 证明：（1）取BC中点M，连结FM，C1M． 在△ABC中，因为F，M分别为BA，BC的中点， 所以FM ∥12AC． ………………………………2分 因为E为A1C1的中点，AC ∥A1C1， 所以FM ∥EC1． 从而四边形EFMC1为平行四边形， 所以EF∥C1M． …………………………………………4分 又因为C1M?平面BB1C1C，EF?平面BB1C1C， 所以EF∥平面BB1C1C． ………………………6分 （2） 在平面AA1C1C内，作A1O?AC，O为垂足． 因 AO?12AA1?A1EB1C1为 12AC∠ A1AC?600，所以 ，从而O为AC的中点．……8 AFBOMC分 5