所以OC∥A1E，因而EC∥A1O． …………………10分
因为侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O?AC，所以A1O?底面ABC． 所以EC?底面ABC． …………………………………………12分 又因为EC?平面EFC，
所以平面CEF⊥平面ABC． …………………………………………14分 17．（本小题满分14分）
解：（1） n?1时，8a1?a12?4a1?3，a1?1或a1?3． ………………………2分
当n≥2时，8Sn?1?an2?1?4an?1?3，an?Sn?Sn?1?从而(an?an?1)(an?an?1?4)?0．
因为?an?各项均为正数，所以an?an?1?4． ………………………6分 所以，当a1?1时，an?4n?3；当a1?3时，an?4n?1． 又因为当a1?1时，a1,a2,a7分别为1，5，25，构成等比数列， 所以an?4n?3，bn?5n?1．
当a1?3时，a1,a2,a7分别为3，7，27，不构成等比数列，舍去．………10分 （2）满足条件的a存在，a?45． ………………………12分 由（1）知，an?4n?3，bn?5n?1，从而
an?logabn?4n?3?loga5n?118(an?4an?an?1?4an?1)22，
?4n?3?(n?1)loga5?(4?loga5)n?3?loga5．
由题意，得4?loga5?0，所以a?45． ………………………14分 18．（本小题满分16分）
解：（1）圆心C(m,0)(?1?m?1) ，则⊙C的半径为r?1?m2 ．
从而⊙C的方程为(x?m)2?y2?1?m2． ………………………………2分 椭圆D的标准方程为
x22b?1?yb22?1． x2 ………………………4分
2（2）当b?1时，椭圆D的方程为
2?y?1．
6
设椭圆D上任意一点S(x1,y1)，则
22212x122?y?1，y?1?2121x1222．
2因为SC?(x1?m)?y?(x1?m)?1?x122?12(x1?2m)?1?m ………6分
≥1?m2?r2，
所以SC≥r．
从而椭圆D上的任意一点都不在在⊙C的内部． ………………………8分
?????????（3）OM?OL?b2?1为定值．
……………………………………9分
证明如下：
设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则由题意，得N（x1，－y1），x1?x2，y1??y2． 从而直线PQ的方程为(y2?y1)x?(x2?x1)y?x2y1?x1y2?0． 令y＝0，得xM?x1y2?x2y1y2?y1．
又直线QN的方程为(y2?y1)x?(x2?x1)y?x2y1?x1y2?0． 令y＝0，得xL?x2y1?x1y2y2?y1． ………………………………13分
x122因为点P，Q在椭圆D上，所以从而x?b?1?(b?1?xM?xL?2212b?12?y1b222?1，
y222x222b?1?y2b22?1，
b?1b222y21，x?b?1?22222b?1b222，所以
2222b?1b2y)y?(b?1?y?y222121b?1by2)y1?(b?1)(y2?y1)y?y2221?b?1
2．
?????????所以OM?OL?xM?xL?b2?1?定值． ……………………16分
19． （本小题满分16分）
解：（1）当??(,)时，点P在线段OG上，AP?42ππasin?；当??(,2π3π4)时，点P在线段
GH上，AP?asin(π??)?aasin?；当 ??π3π442a?sin?π2时，AP?a．
综上所述，AP?sin?，??(,)． …………………………2分
所以，弧AD的长l?AP?2??分
，故所求函数关系式为l?2a?sin?，??(,4π3π4)．…4
（2）当??(,)时，OP?OG?PG?a?42ππatan??a?acos?si?n；当??(π3π,)时，24 7
OP?OG?GH?a?atan(π??)acos?sin?2?2??a?atan?π3π44?a?acos?sin?；当 ??π2时，OP?a．
所以，OP?a? 从而，
OPl?，??(,)． ………………………6分
sin??cos?． …………………………………8分
π3π44)．
记f(?)? 则f?(?)?sin??cos?，??(,?(cos??sin?)?(sin??cos?)2?2．
令f?(?)?0，得?(cos??sin?)?sin??cos?． …………………………10分 因为??(,4π3π4)，所以cos??sin??0，从而??sin??cos?cos??sin??tan??1tan??1sin??cos?cos??sin?π4)．
显然??π2，所以??π?tan(??．…………………………12分
记满足??tan(??)的???0，下面证明?0是函数f(?)的极值点．
4 设g(?)??(cos??sin?)?(sin??cos?)，??(,4π3π4)．
则g?(?)??(cos??sin?)?0在??(,4π3π4)上恒成立，
从而g(?)在??(,4ππ3π4)上单调递减． ……………………………14
π分
所以，当??(,?0)时，g(?)?0，即f?(?)?0，f(?)在(,?0)上单调递增；
44)当??(?0,3π4)时，g(?)?0，即f?(?)?0，f(?)在(?0,3π4上单调递减．
故 f(?)在???0处取得极大值，也是最大值． 所以，当?满足??tan(??π4)时，函数f(?)即
OPl取得最大值，此时招贴画最优
美． ……………………………………………………16分 20．（本小题满分16分）
解：（1）当a?1时，因为x?[?1,1]，所以f(x)??x3?x． 则f?(x)??3x2?1??3(x?令f?(x)?0，得x?列表： x
?1
(?1,?33)
?333333)(x?3333)．
,x??． …………………………………2分
(?33,33)
33
(33,1)
1
8
f?(x)
0
? 0 极小
? 0 极大值
? 0
f(x)
↘
?值
239↗
239↘
239所以，函数f(x)在x?[?1,1]上的最小值、最大值分别为?239、．…………6分
（2）（ⅰ）当a?0时，f(x)?x3，f(x)的单调增区间为(??,??)；……………7分 （ⅱ）当a?0时，f(x)?x3?ax．因为f?(x)?3x2?a?0恒成立，所以f(x)在
(??,??)上单调递增，从而f(x)的单调增区间为(??,??)； …………9分
（ⅲ） 当a?0时，①当x≥a或x≤?a时，f(x)?x3?ax．
因为f?(x)?3x2?a?3(x?a3)(x?a3)，?a3??a，a3?a，
所以当x≥a或x≤?a时，f?(x)?0，
从而f(x)的单调增区间为(??,?a)及(a,??)． ……………………11分 ②当?a?x?a时，f(x)??x3?ax．
2f?(x)??3x?a??3(x?a3)(x?a3a3)，
令f?(x)?0，得x?列表： x
f?(x) f(x)
(?a,?a3)
a3,x??． ……………………13分
?a3 (?a3,a3)
a3 (a3,a)
? ↘
0
a3,a3? ↗
)， f(x)0
? ↘
a3)，
所以，f(x)的单调增区间为(?(a3,的单调减区间为(?a,?a)． ……………………………………………………15分
综上所述，当a≤0时 ，函数f(x)的单调增区间为(??,??)；当a?0时， 函数f(x)的单调增区间为(??,?a)，(a,??) ，(?(?a,?a3)，(a3,a3,a3)， f(x)的单调减区间为
a)． …………………………16分
9
常州市教育学会学生学业水平监测
高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．若答题
超过2题，则以所做题的前两题计分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—1：几何证明选讲 解：连结CE，CH．
因为H为△ABC的垂心，
所以，∠ECD=∠BAD?900??ABC，∠HCD ?900??ABC，
从而∠ECD=∠HCD． ………………………………4分 又因为CD⊥HE，CD为公共边，所以△HDC≌△EDC， …………8分 所以DH?DE． …………………………………10分 B．选修4—2：矩阵与变换 解：矩阵M的特征多项式为f(?)???2?1?4??1?????6?(??3)(??2)，
2 ……2分
令f(?)?0，得到M的特征值?1?3，?2??2． …………………………4分 当?1?3时，矩阵M的一个特征向量为??； ……………………………7分
?1?当?2??2时，矩阵M的一个特征向量为??． …………………………10分
??1?C．选修4—4：坐标系与参数方程
解： 圆心C的极坐标为(3,)， …………………………………6分
3π?4??1?设直线l上任意一点P(?,?)，则?cos(??)?3，
3π即为直线l的极坐标方程． ……………………………………………10分 D．选修4—5：不等式选讲 证明：因为x,y均为正实数， 所以x?y≥2xy，
1x?1y≥21xy，当且仅当x?y时等号成立（下同）． ……6分
10
从而(x?y)(?x14x14y11y)≥2xy?21xy?4， …………………………………8分
所以
?≥1x?y． …………………………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解．．．．．．．
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．解：（1）焦点F(0,1)，直线AB方程为y?k(x?1)，因为k?0，所以x?y??1,?x?由?k?y2?4x?yk?1．
得y2?4ky?4?0．
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)，显然△?0恒成立，则y0?又x0?y0k?1，消去
y1?y22?2k． ……3分
k ，得y02?2(x0?1)，
所以点M的轨迹方程为y2?2(x?1)． ……………………5分 （2）由（1）知，点M(因为m?132k2?1,2k)．
1(62，所以d?162165k2?8k?m?3?155k6k2?8k8k?m?3)． ………………7分
由题意，得(5k?8k?m?3)≥6k2，m≤??2对?2?k??1恒成立．
23因为?2?k??1时，
?8k?2的最小值是?3223，所以m≤-． ……………10分
23．解：当n?1时，a2?1?a11?a1?，a1?a2，所以n?1时，不等式成立； ………4分
假设当n?k(k?N?)时，ak?ak?1成立，显然ak?0．则当n?k?1时，
ak?2?ak?1?1??ak?1?ak(1?ak)(1?ak?1)ak?11?ak?1?0?ak?1?1?ak?11?ak?1?(1?ak1?ak)?
11?ak?11?ak?1
， ………………………………………7分
所以n?k?1时，不等式成立． …………………8分
综上所述，不等式an?an?1(n?N?)成立． ………………………………10分
11