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取拉氏反变换，可得阶跃响应的表达式为：
y(t)?1?cos?nt （t?0） (2-9)
响应曲线y?t?为无衰减的等幅正弦振荡，振荡角频率为?n。 (2) 0???1(欠阻尼型)
由式（2-5），系统有一对位于复平面左半部的共辘复数根:
s1,2????n?j?n1??2 (2-10)
单位阶跃响应的拉氏变换为：
2?n1 Y?S??2?2??2??ns??nss???n1 ??ss???2??1??2?n?n??2???n?s????2??n1???2?2 (2-11)
取拉氏变换得：
y?t??1?e???nt1??2sin??dt??? （t?0）
（2-12）
式中：?d?1??2?n 称为阻尼振荡角频率
1??2 ??arctan 为初相位
?欠阻尼情况下二阶系统单位阶跃响应由二部分组成:稳态分量为1，表明系统的单位阶跃响应不存在稳态误差;瞬态分量为有阻尼的衰减振荡项，其阻尼振荡角频率为
?d，振幅按e???t指数函数规律衰减。
n(3) ??1 （临介阻尼型）
由式（2-5），系统有二个完全相等的负实根：s1,2????n，单位阶跃响应的拉氏变换为：
2?n1111Y?S?????? (2-13) 22?s??n?sss??n?s??n?取拉氏反变换得：
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y?t??1?e??nt?1??nt? （t?0） 临介阻尼情况下二阶系统单位阶跃响应动态过程是单调上升，不出现振荡。 (4) ??1 （过阻尼型）
由式（2-5），系统有二个不相等的负实根,：s1,2????n??n?2?1，单位阶跃响应的拉氏变换为：
Y?s???s?????n2?nn?2?1s???n??n??1? (2-14) ?2?1s?取上式的拉氏反变换，得系统的响应为：
?es2tes1t?? y?t??1??? （t?0） (2-15) 2s1?2??1?s2?n由于s1,2?0，过阻尼情况下二阶系统单位阶跃响应动态过程由二个指数衰减项组成，整个动态过程是单调上升，不出现振荡，最终达到稳态值1。 (5) ??0 （发散型）
当??0时，特征根位于复平面右半部，系统的响应是发散的。 1）当?1???0时，系统有一对位于复平面右半部的共扼复数根：
s1,2????n?j?n1??2 (2-16) 统的单位阶跃响应表达式为
y?t??1?e???nt1??2sin??d??? （t?0） (2-17)
式中：?d?1??2?n 称为发散振荡角频率
1??2 ??arctan 为初相位
?由于???n?0，所以系统的响应是增幅振荡，振幅按e???nt指数函数规律增长。
2）当???1时，系统有二个位于复平面右半部的不相等的正实根：
s1,2????n??n?2?1?0 (2-18) 系统的单位阶跃响应表达式为：
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?es2tes1t?? y?t??1? (2-19) ?? （t?0）2s1?2??1?s2?n由于s1,2?0，单位阶跃响应含有二个指数增长项，整个过程是单调上升过程。并且，t??时，y?t???。
典型二阶系统在?n?2，不同阻尼比?值的情况下的单位阶跃响应曲线见图2-3。
6543210-102468
图 2-3 不同阻尼比的典型二阶系统单位阶跃响应曲线
2.2 二阶系统动态指标
控制系统常用的动态性能指标包括三个方面[10]：①过渡过程的品质指标，如超调量、调节时间、上升时间等；②误差泛函积分评价指标，包括IAE、ISE、ITSE、ITAE等；③正定二次型积分泛函，这是20世纪60年代后发展起来的一种最佳性能指标，是李雅普诺夫第二方法在最优控制论中的应用。本文主要采用前二个指标。
2.2.1 过渡过程的品质指标
它是衡量一个控制系统在零初始条件卜，单位阶跃给定控制输入后，控制系统输出过渡过程质量优劣的一种尺度。具有衰减振荡的控制系统阶跃响应曲线如图2-4所示。过渡过程的品质指标有以下四个:：上升时间?tr?、峰值时间tp、调节时间?ts?和最大超调量(简称超调量)
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?。
(1) 上升时间tr:指输出响应从零开始到第一次上升到稳态值y???所需时间。 (2) 峰值时间tp:指输出响应超过稳态值而到达第一个峰值ymax所需时间。 (3) 调节时间ts:在阶跃响应的稳态值y???附近，取?0.02y???或?0.05y???作为误差带，当阶跃响应曲线进入此误差带并且以后不再超出误差带所需的最小时间称为调节时间，又称为过渡过程时间。
（4）超调量?：指输出响应过程中输出量的最大值超过稳态值的百分数，即 ??ymax?y??? ?100% （2-20）
y???1.6ymax1.41.21y???0.80.60.40.200trtp误差带0.02y(?)或0.05y(?)246ts810
图 2-4 具有衰减振荡周期的控制系统阶跃响应
2.2.2 误差泛函积分评价指标
?误差泛函积分评价指标包括JIAE???00e??td（t绝对误差积分指标）、
、JITSE??te2?t?dt（时间乘平方误差积分指标）、JS??e2td?t?（平方误差积分指标）EI0?JITAE??te?t?dt（时间乘绝对误差积分指标）等。它们的共同点是用一个正数集中
0?地刻划整个阶跃响应过程中误差的大小。无论采用上述哪一种积分指标，指标值愈小，意味着整个动态过程中，总体说来误差愈小。也就是说，动态性能愈好。其中IIAE
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指标以较好的实用性和选择性(系统参数变化引起指标变化越大，选择性越好)得到广泛的应用。许多文献把I裂正看作是单输入单输出控制系统和自适控制控制系统的最好性能指标之一。本文主要采用ITAE指标。
2.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标与阻尼比的关系
延迟时间td：根据定义，令式（2-12）等于0.5，整理得：
?ntd?1?ln2sin(1??2?ntd?arccos?)1??2 (2-21)
取?ntd为不同值，可以计算出相应的?值，然后绘制出?ntd与?的关系式曲线，如图2-5所示。利用曲线的拟合方法，可得延迟时间的近似表达式
图2-5 二阶系统nd与?的关系曲线
1?0.6??0.2?2??1 或 td??n?ttd?1?0.7?2?n 0???1 （2-22）
上述两式表明，增大?n或减小?，都可以减小延迟时间td。或者说，当阻尼比不变时，闭环极点离［s］平面的坐标原点越远，系统的延迟时间越短；而当自然频率不变时，闭环极点离［s］平面的虚轴越近，系统的延迟时间越短。
上升时间tr：根据定义，令式（2-12）等于1。 可得：
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