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1?e???ntr???cos?t??sin?dtr??1 (2-23) dr??1??2??因为
e???ntr?0
所以
co?sdtr?则有
tan?dtr??11??2(2-24)
?1??2sin?dtr?0 (2-25)
? （2-26)
tr??darctan?1??2? (2-27)
?1??2arctan????? (2-28)
所以
tr??????? (2-29) ?2?d?n1??显然，当阻尼比?不变时，?角也不变。如果无阻尼振荡频率?n增大，即增大闭环极点到坐标原点的距离，那么上升时间tr就会缩短，从而加快了系统的响应速度；阻尼比越小（?越大），上升时间就越短。
峰值时间tp：将式（2-12）对时间求导并令其为零，可得峰值时间
dh(t)|t?tp?0 (2-30) dt将上式整理得
tan??tan?(dtp??) (2-31) 则有?dtp?0，?， 2?，3?， ?。根据峰值时间的定义，tp是指h(t)越过稳态值，到达第一个峰值所需要的时间，所以应取?dtp??。因此峰值时间的计算公式为
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tp??或 ?d??n1??2 （2-32）
上式表明，峰值时间等于阻尼振荡周期一半。当阻尼比不变时，极点离实轴的距离越远，系统的峰值时间越短，或者说，极点离坐标原点的距离越远，系统的峰值时间越短。
超调量?：将峰值时间式（2-20）代入式（2-12），得输出量的最大值, Y?tp? Y?tp??1?由于
sin(???)??1??2 (2-34)
e???1??221??sin?(?? ) (2-33)
代入上式，则
h(tp)?1?e???1??2 (2-35)
根据超调量的定义式，并在Y????1条件下，可得： ??e???1?2? (2-36)
显然，超调量仅与阻尼比?有关，与自然频率?n的大小无关。阻尼比越大(?越小)，超调量越小；反之亦然。或者说，闭环极点越接近虚轴，超调量越大。通常，对于随动系统取阻尼比为0.4~0.8，相应的超调量为25.4%~1.5%。
调节时间ts：写出调节时间ts的准确表达式是相当困难的。在初步分析和设计中，经常采用近似方法计算。对于欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
y?t??1?e???nt1??2si??nd?t??来说，指数曲线1?e???nt1??2是阶跃响应衰减振荡的上
下二条包络线，整个响应曲线总是包含在这二条包络线之内，该包络线对称于阶跃响应的稳态分量。
当??0.8时，经常采用下列近似公式：
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tr?3.5??n 取5%误差带 (2-37)
取2%误差带 (2-38)
或 ts?4.5??n上式表明，调节时间与闭环极点的实部数值(??n)成反比，实部数值越大，即极点离虚轴的距离越远，系统的调节时间越短，过渡过程结束得越快。
综上所述，从各动态性能指标的计算公式及有关说明可以看出，各指标之间往往是有矛盾的。如上升时间和超调量，即响应速度和阻尼程度，要求上升时间小，必定使超调量加大，反之亦然。当阻尼比?一定时，如果允许加大?n，则可以减小所有时间指标(td、tr、ts和tp)的数值，同时超调量可保持不变。
2.4 小结
本章首先介绍了典型二阶系统的阶跃响应，并分析了典型阶跃响应的传递函数，通过对传递函数的分析得出特征根与阻尼比的关系，进而分析了不同阻尼比对典型二阶系统响应的影响。之后介绍了控制系统动态性能指标，详细介绍了过度过程的品质指标。最后介绍了欠阻尼二阶系统动态性能指标与阻尼比的关系。
由本章分析可知，系统的动态性能指标之间存在矛盾，用传统的控制方法不能解决这些矛盾。在二阶系统五种类型的单位阶跃响应中，发散型或无阻尼型，它实际表示控制系统处于正反馈状态，为不稳定系统，在工程实际中一般不采用。过阻尼型，虽然不出现超调，平稳性比较好，但调节时间较长，除了一些不允许出现超调(如液体控制系统，超调会导致液体溢出)或大惯性(如加热装置)的控制系统外，一般也不采用。比较接近理想工作状态的是欠阻尼型，但是欠阻尼型系统的稳定性较差。系统动态过程的快速性与平稳性二类指标之间是相互矛盾的，不能同时达到满意的结果。 通过以上分析可知，发散型、欠阻尼、过阻尼系统各有优点，如果把个系统的优点组合在一起，那么可以得到理想的动态响应。由此提出变阻尼控制，用以改善二阶系统的动态响应。
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第3章 变阻尼控制改善二阶系统动态特性
3.1 测速反馈控制
测速反馈控制是指将系统的输出信息返送到输入端，与输入信息进行比较，并利用二者的偏差进行控制的过程。加入测速反馈降低了原系统的开环增益，因此在设计测速反馈控制时，可以适当增大原系统的开环增益，以补偿测速反馈引起的增益下降。对于输出量是机械位置的系统，如角位移，可采用测速友电机将角位移变换为正比于角速度的电压，从而获取输出速度的反馈信号。图3-1所示为采用侧速发电机反馈的二阶系统结构图。?s为速度负反馈的传递函数，?为测速反馈系数。
R eG?s? Ks?sT?1?y?s测速发电机
图 3-1 带测速反馈的二阶系统
设被控对象的传递函数为 G?s??则系统闭环传递函数为
2Y?s??nK ??s?? (3-2) ??2R?s?Ts2??1?K??s?Ks2?2??ns??nK (3-1)
s?sT?1?共 43 页 第 15 页
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其中
?n?K/T (3-3)
???0???N/2 (3-4) ?0?1/2KT (3-5)
???n是系统无阻尼自然振荡角频率，?0是系统未引入测速反馈时原系统的阻尼比，
?是引入测速反馈后系统的阻尼比。由上述公式可见，引入测速反馈后不改变系统无阻尼自然振荡角频率，但是改变了系统的阻尼比。系统阻尼比的增量为?????n/2。
分析图2-3可知，系统阻尼比的大小影响系统的同台性能指标。系统阻尼比过小会引起系统瞬态响应严重超调，而过大的阻尼比会使系统的响应速度变慢。所以选择合适的?是使系统获得较好动态性能的重要条件。
由超调量?计算公式(2-13)可知，阻尼比?的大小有超调量来确定。?确定后，调节时间ts的大小由?n决定。在?n确定的情况下，??0.707时，ts最短，工程中经常以??0.707作为最佳阻尼比。
传递函数为G?s??4/?s2?s?，?n?2，?0?0.25的测速反馈控制仿真曲线如图3-2所示。采用图3-1所示测速控制系统，?取0.457，阻尼比增大为??0.707，仿真结果见曲线1，其中，ts?1.8秒，??2%。曲线2为未带测速反馈控制时单位反馈系统阶跃曲线，ts?7.05秒，??44.5%。分析图3-2中曲线1和曲线2可知，测速反馈控制可以明显的改善二阶系统的动态性能，提高系统的各项动态指标。
1.5110.5200246810
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