说明：比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用．
典型例题八
例8 已知①?1?a?b?1；②1?a?b?3，求：3a?b的取值范围．
分析：此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围．分为两步来进行：(1)利用待定系数法将代数式3a?b用a?b和a?b表示．(2)利用不等式性质及题目条件确定3a?b的范围．
解：设：3a?b?x(a?b)?y(a?b)?(x?y)a?(x?y)b
?x?y?3???x?y??1?x?1 ???y?2由①+②×2得：?1?2?(a?b)?2(a?b)?1?3?2
即：1?3a?b?7．
说明：此题的一种典型错误做法，如下：
??1?a?b?1,1?a?b?3,?0?2a?4，即：0?a?2
??1?a?b?1,?3?b?a??1
??4?2b?0即：?2?b?0
?0?3a?6,0??b?2,?0?3a?b?8
此解法的错误原因是因为a与b是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当a?b取到最大值或最小值时，a?b不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围．
避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程．
[来源学科网]典型例题九
例9 判断下列各命题的真假，并说明理由． （1）若ac?bc，则a?b. （2）若a?b，则
2211?. ab北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大家教平台
（3）若a?b,c?0，则
cc?. ab（4）若a?b,c?d，则a?c?b?d. （5）若a?b?0,a?c，则a?bc. （6）若a?b,m?N?，则a?b.
分析：利用不等式的性质来判断命题的真假．
mm21??0?222解：（1）ac?bc?c?0?c2??a?b，是真命题．
ac2?bc2??（2）可用赋值法：a?3,b??2，有也可这样说明：
11?，是假命题． ab11b?a??， abab∵ a?b，只能确定b?a?0，
1111但ab的符号无法确定，从而?的符号确定不了，所以?无法得到，实际上有：
abab11a?b,ab?0??.
ab11a?b,ab?0??.
ab[来源:Z。xx。k.Com]11???cccca?b?（3）与（2）类似，由a?b?，从而????是假命题． ?ab?ababc?0??（4）取特殊值：a?5,b?1,c?2,d??3.
有a?c?b?d，∴ 是假命题．
定理3的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立．只有异向不等式可相减，即a?b,c?d?a?c?b?d.
?a?b?0?2??a?ab?a?0??2（5）?a?bc， ∴是真命题．
a?c???ab?bc?b?0??（6）定理4成立的条件为必须是正数．
举反例：
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a?3,b??4,m?2，则有am?bm.
说明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件．要说明一个命题是假命题可通过举反例．
典型例题十
例10 求证：a?b,11??a?0,b?0. ab分析：把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理． 证明：利用不等式的性质，得
a?b?a?b?0??1111a?b??ab?0 ????0??0?abbaab?a,b异号???a?0,b?0.
a?b?典型例题十一
例11 若a?b,c?d，则下面不等式中成立的一个是（ ） （A）a?d?b?c （B）ac?bd （C）
ab? （D）d?a?c?b cd解：由不等式的性质知：（A）、（B）、（C）成立的条件都不充分，所以选（D），其实（D） 正是异向不等式相减的结果．
a?b??a??b???d?a?c?b.
c?d?d?c?说明：本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等式的基本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用．
典型例题十二
例12 若?1?????1，则下面各式中恒成立的是（ ）． （A）?2?????0 （B）?2??????1 （C）?1?????0 （D）?1?????1
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分析 本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即?1???1，?1???1和???，根据不等式的性质，可得?1????1，
????0，继而得到?2?????2且????0，故?2?????0，因此选A．
典型例题十三
例13 若a?b?c，则一定成立的不等式是（ ）
A．ac?bc B．ab?ac C．a?c?b?c D．分析：A错，当a?b,负号的关系，所以也不对．
故选C，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是?c），原不等式成立． 说明：这类题可以采用特例法：令c?0即得C成立．
111?? abcc?0时有ac?bc；同样B错；D没有考虑各数取零和正
典型例题十四
例14 已知：a＞b，e＞f，c?0，求证：f?ac＜e?bc．
[来源:Z,xx,k.Com]
分析：要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项是两字母积的形式，因此在证明时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理．
??ac＜?bc．证明：?a＞b，c＞0，?ac＞bc，
又f＜e，∴由同向加性可得：f?ac＜e?bc．
?f?ac＜e?bc．说明：此题还可采用异向减性来处理：f＜e，ac＞bc，做这类题过
程并不复杂，关键是记准性质，并能正确地应用．
典型例题十五
例15已知集合I?R，A?x|x?5x?14＜０，B?x|x|?y?2,y?A,求：
?2???A?B．
分析：要求A?B，需要先求集合A和B，从已知来看，A的范围容易求，B的元素由y?A可以推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质．
解：?x?5x?14?0且I?R,
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2 ??2?x?7.
?A?xx2?5x?14?0??x?2?x?7?.
?y?A,??2?y?7. ??4?y?2?5.?|x|?y?2, ??4?|x|?5,?|x|?5. ??5?x?5.
???B??x?5?x?5?. ?A?B?{x?2?x?5}.
说明：本题中的条件I?R，意在明确集合A中的元素为R，若去掉此条件，会出现不确定的情况．比如，?2?x?7的实数和?2?x?7的整数显然是有区别的．另外，这里集合B的元素是通过集合A的元素求出的，解题时，一定要看清．
典型例题十六
例16 设a和b都是非零实数，求不等式a?b和
11?同时成立的充要条件． ab11?成立的条件则是a与b同ab分析：本题是求两个不等式同时成立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨论．如果分开讨论，则a?b成立的条件就是a?b本身；而号，且a?b，但这个条件只是
11?的一个充分条件，并且与第一个不等式a?b是矛盾ab的．所以必须研究这两个不等式同时成立的条件．显然，应该从求它们同时成立的必要条件入手．
解：先求a?b，应具备什么条件．
1111?同时成立的必要条件，即当a?b，?同时成立时，a与babab?a?b,?a?b?0,??由?11，得?b?a
??0.???ab?ab由a?b?0可知b?a?0，再由是不等式a?b与
b?a?0知ab?0，即a与b异号，因此a?0?bab11?同时成立的必要条件． ab北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大家教平台