第七章 椭球面上的基本计算 2006版 控制测量学讲稿
第七章 椭球面上的基本计算
§1 地球椭球的基本知识
离心力 地球的自然表面——不规则；不能在上面进行计算； 大地水准面——平均海水面延伸得到的封闭曲面，最接近大地自然 地心引力 重力G 表面； ∵大地水准面具有性质：大地水准面上任一点处的垂线（重力方向） 与该点处切面正交；
又：重力是离心力与地心引力的合力（离心力与地心引力之比约1： 300），而大地水准面上各点处引力不等，造成各点处垂线方向各异。
∴各点处切面组成的曲面——大地水准面亦不规则，有微小起伏，是一个具有物理性质的曲面。 实践和理论均可证明：1）在各水准面（与大地水准面的不平行性不很明显）上测得的水平角，因归化到大地水准面上改正极微小，完全可以看成大地水准面上的角值；2）各高程面上测得之边长也可化算到大地水准面上；3）地面点的高程亦从大地水准面起算。
结论：大地水准面是测量外业的基准面；但它是物理曲面而非数学曲面，所以不能作为测量计算的基准面。 大地体——大地水准面包围的形体；
地球椭球——代表地球形体的旋转椭球体；椭球面上处处法线与该点的切面正交，是一个具有数学性质的曲面；
总地球椭球——与大地体最接近的地球椭球。应满足： ①其中心应与地球质心重合；
②旋转轴应与地轴重合，赤道应与地球赤道重合； ③体积应与大地体体积相等；
④总椭球面与大地水准面之间的高差平方和最小。 参考椭球——与某一局部大地水准面密切配合的椭球。 二、椭球的几何元素与参数 1.椭球的元素
长半径：a 短半径：b 2.椭球的参数
扁率： ?＝(a－b)/a 第一偏心率： e?a2?b2/a 第二偏心率： e??a2?b2/b 式中：a2?b2——椭圆的焦距，即椭圆的焦点到椭圆中心的距离
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一、地球形状的概念
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3.关系式
a?b1?e?2 b?a1?e2 e?e?(1?e2) e??e(1?e?2)
2
(1＋ e′) (1－e2)＝1
e2＝2??－? 2 ≈2?? (??≈1/300)
我国解放前使用海福特椭球等。解放后，我国的“1954年北京坐标系”采用克拉索夫斯基椭球，“1980国家大地坐标系”采用“IAG75”椭球，而全球定位系统（GPS）采用的是WGS-84椭球参数。这三个椭球的元素和参数参见P2表7-1。
练习及作业： 1.阅读
①《控制测量学》上册，§1.2 1.2.1、1.2.2 ②《控制测量学》下册，§7.1 2.思考
①如何理解大地水准面是测量外业的基准面？为什么不能作为测量计算的基准面？ ②如何旋转椭圆得到参考椭球？
§2 椭球上点的位置的确定
一、椭球上点的高程位置的确定
大地高H大——地面点沿法线方向到参考椭球面的距离。 大地高可以由以下两种方法求得：
H大＝H正＋N
式中：H正——B点的正高高程
N——大地水准面差距（见大地重力学中斯托克司公式）
H大＝H常＋ζ
式中：H常——B点的正常高高程
B H正 H常 似大地水准面 大地水准面 N ζ 椭球面 ζ——高程差异或高程异常（见重力测量学）
因正常高能精确求得，ζ亦能严密解算，故，此方法是严密的。
（注：①大地水准面与似大地水准面很接近，在高山区最大差异不超过±4m，在平均海水面上两面重合，即H正＝H常；②B点法线与重力线非常接近，其差异对高程的影响很小，讨论高程时可不予考虑）
二、椭球面上点的平面位置的确定 1.椭球面上的线和圈
子午圈——包含短轴的平面与椭球面的截线；亦称经圈，经线，子午线。
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0
第七章 椭球面上的基本计算 2006版 控制测量学讲稿 N 最大的平行圈，即过椭球中心垂直于短轴的平面与椭球面的交线，称为 T
赤道。 平行圈 法 法 法截面、法截线——包含某点法线的平面称为法截面，法截面与椭 线 截 线 球面的交线称为法截线。 赤道 子 午 卯酉圈——与某点子午面正交的法截面在椭球上的截线。 线 2.椭球上的坐标系统和空间直角坐标系统 S ①大地坐标系统（B、L） N 大地经度L——过P点的子午面与起始子午面构成的两面角； L P 由起始子午面起算，逆转向东为正（东经0～180°），顺转向西为 G 起 负（西经0～180°）； W 始 o E 大地纬度B——过P点的法线与赤道平面的夹角；由赤道平面 子 B 午 赤道平面 起算，向北为正（北纬0～90°），向南为负（南纬0～90°）。 线 ②子午面直角坐标系统（L，x，y） L——大地经度； S y x，y——子午面内的平面直角坐标系统；子午面与赤道平面的 交线为x轴，椭球短轴为y轴。 L x P ③空间直角坐标系统（X，Y，Z） G y o——参考椭球的中心 o X——起始子午面与赤道面的交线 Y——在赤道面内，垂直X（右手系） x Z——与椭球短半径重合 3.坐标系统间的关系 平行圈——垂直于短轴的平面与椭球面的交线；亦称纬圈、纬线。 Z 点在两坐标中大地经度L相同，推导大地纬度B与直角坐 M H大 标x，y的关系如下： G P dy因曲线在P点处的一阶导数就是P点处曲线切线的斜 Zm dx o Y dy?率，即： Xm ?tan(B?90)??cotB
dx Ym x X 22xy y 又，对子午椭圆方程式2?2?1微分，有： ab P x 2x2ydy y B+90° ?2?0 2abdx B B o x 2 即： dy??b?x
2 dxay 2 因b?a1?e，故：
①大地坐标系与子午面直角坐标系的关系
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dyx??(1?e2) dxy即： ?cotB??(1?e2)x
y也即： y＝xtanB(1－e2) (1) 将（1）式代入椭圆方程，得：
x2x2tan2B(1?e2)2??1 (2) a2b2由（1），（2）两式可得：
x?acosB1?e2sin2B?acosB ﹡ Wy?a(1?e2)sinB1?e2sin2B?a(1?e2)sinB W②大地坐标系与空间直角坐标系的关系
空间M点的大地坐标为L，B，H；其空间直角坐标为X，Y，Z。 首先推导空间直角坐标系与子午面直角坐标系关系如下：
Xm＝xmcosL
Ym＝xmsinL （1） Zm＝ym
又，从右图可知：
xm＝xp＋HcosB＝(a/W)cosB＋HcosB （2）
ym＝yp＋HsinB＝(a/W)(1－e)sinB＋HsinB
2
将（2）代入（1）得：
Xm＝xmcosL＝(N＋H)cosBcosL
Ym＝xmsinL＝(N＋H)cosBsinL (3)
Zm＝ym＝(N－Ne＋H)sinB
2
式中：N＝a/W
Ne2＝ae2/W
练习及作业： 1.阅读
Z (y) M G P o Y L X x o Y xm L M x X Z(y) M H P xp Zm＝ym yp B x §7.2 浏览已知空间直角坐标计算大地坐标的（7-31）、（7-32.）、（7-34）式 2.作图并复习定义 ①大地坐标系 ②子午面直角坐标系 ③空间直角坐标系
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3.思考
①大地坐标系与子午面直角坐标系如何建立关系？ ②大地坐标系与空间直角坐标系如何建立关系？
§3 几种主要的曲率半径
一、子午曲率半径M 已知，平面曲率半径公式
(1?y?)y??232[1?(???dy232)]dx d2ydx2因：
dy?tan(90??B)??cotB dx22232 dy?1?dB??(1?esinB) （参见上节﹡式）
dx2sin2Bdxasin3B(1?e2)代入平面曲率半径公式，得子午曲率半径公式
a(1?e2) M?2232(1?esinB)由上式知：MB＝0°＝a－ae2（赤道处子午曲率半径小于a）
MB?90?ba2 ﹡（两极处子午曲率半径大于a） ﹡
1?e2? ?ba二、卯酉曲率半径N
1.麦尼尔第二定律（参见微分几何——北京测绘学院）
通过P点引两个截弧：法截弧与斜截弧。法截弧的曲率半径为N，斜截弧的曲率半径为r，若法截弧与斜截弧在P点有公共切线，则r＝NcosB（B为两曲率半径的夹角）。
2.卯酉曲率半径
取法截弧为卯酉圈，斜截弧为平行圈，根据麦尼尔第二定律，有：
N?rx
?cosBcosB式中 x——P点在子午面直角坐标系统中的x坐标
B——P点的大地纬度 将关系式x?acosB1?esinBN?a1?esinB2222代入上式得
y r P 子 平行圈B 卯 午 酉 线 N 线 B
由上式知：NB＝0°＝a （赤道处卯酉曲率半径等于a）
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