第七章 椭球面上的基本计算 2006版 控制测量学讲稿
NB?90?a2﹡ （两极处卯酉曲率半径大于a） ﹡b?1?e2? ba3.子午、卯酉两曲率半径的关系
Ne2cos2B22??1??1?ecosB?1
M1?e2 A Q 三、任意方向（大地方位角A）法截弧的曲率半径RA
1.大地方位角定义 P PQ方向的大地方位角APQ为：过P点法线和Q点的平面，与P点子午 面之间的夹角（由正北顺时针计）。 2.大地方位角为A的法截弧曲率半径 221cosAsinA欧拉公式： ?? RAMN 22aaN当B＝90°时，。称为极半径。 ?1，即极点处M?N?bbM故： RA?MN 22NcosA?MsinA由上式知： RA＝0°＝M； RA＝90°＝N
A：0～90°～180°时，RA：M～N～M——曲率半径具有对称性，即对称位置的法截弧在P点有相同的曲率半径。
⊿A 2⊿A 3⊿A 0 四、平均曲率半径R
2π-⊿A 1.平均曲率半径定义 ⊿A⊿A⊿A 设过P点可以做2π/⊿A个法截线，各法截线的大地方位角为：0， ⊿A ⊿A，2⊿A，?，2π－⊿A；过P点的各法截线曲率半径平均值为： 2???A RA? P R1?0 2??A 2???ARA?则平均曲率半径 R?limR1?lim0
?A?02??A?A?02.平均曲率半径计算公式
?2 R?4?0MNdA （顾及曲率半径的对称性）
?Ncos2A?Msin2A2?将上式改化成
1?1?t2dt?arctant的形式，分子、分母除以MN，有：
?2R???02MNNMcos2A?sin2AMN?dA
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?2R?2??0MNNMcos2A(1?(tanA)2)MNMN??dA分母提取公因式
?
?22??01?(MtanA)2NM1?dANcos2A设t?MtanA，dt?NM1?dA，积分上下限也变，则
Ncos2AR?2?MN??0dt2?1?t2?MN?(arctant)?0?2?MN(?2?0)?MN
所以，平均曲率半径 R?MN
练习及作业： 1.阅读
§7.3 浏览7.3.3主曲率半径的计算；7.3.6及表7-4、7-5 2.思考
①子午曲率半径和卯酉曲率半径，当B由0～90°时的变化； ②子午曲率半径和卯酉曲率半径的大小关系； ③什么是大地方位角？
§4 弧长的计算
一、子午线长度
由图知： dS＝MdB
即： dS＝a(1－e2)(1－e2sin2B)-3/2dB 故：
B2SB??dS??a(1?e2)(1?e2sin2B)?32dB1B1B1B2B2?a(1?e2)?(1?e2sin2B)?32dBB1B2
求积分过程：
1）将积分项用二项式定理（形如下式）展开：
子午线 P2 dS B2 dB P1 B1 (1－x)n＝1－nx＋(1/2!)n(n－1)x2－(1/3!)n(n－1)(n－2)x3＋…
2）应用三角函数积分递推公式逐项积分（先将正弦指数函数化为余弦的倍角函数，形如下式）：
sin2B＝1/2－(cos2B)/2
??
3）整理合并同类项，得子午线上弧长P16，7-97式。该式B1＝0（即从赤道起算的子午弧长公式）。 （注：当弧长S≤40km，可把子午圈视为圆弧，圆的半径为其中纬度Bm＝(B1＋B2)/2处的子午曲率半径
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第七章 椭球面上的基本计算 2006版 控制测量学讲稿
Mm，则子午弧长公式为：S＝Mm(B2－B1)″ /ρ″。该式精度当S≤40km时，可达1mm。）
二、平行圈长度
由图知： S′＝l?r
r＝NcosB （麦尼尔第二定律）
r S′ l B S??NcosB式中：N——卯酉曲率半径
B——平行圈所处的大地纬度 l——弧长S所对应的经度差
l?? ???由上式知，相同经差l的平行圈长度S′，因所处纬度B不同而不同。
练习及作业：
阅读 浏览§7.4.4 观察表7-6数值
§5 相对法截弧与大地线
一、相对法截弧 图中：
N1，N2——A，B点的曲面法线
Ka，Kb——A，B点曲面法线与旋转轴交点 OKa＝A1Ka－A1O ＝A1Ka－yA
＝N1sinB1－a(1－e2)sinB1(1－e2sin2B1)-1/2 ＝ae2sinB1(1－e2sin2B1)-1/2 OKb＝ae2sinB2(1－e2sin2B2)-1/2
由上可知，椭球面上点的法线与旋转轴的交点： 1）交点位置仅与点的纬度B有关； 2）若两点B2＞B1，则有OKb＞OKa；
3）B相等（平行圈上）的所有点，其法线交短轴于一点；
4）L相同，B不等的所有点的法线，与旋转轴相交不在一点，但在一个平面内； 5）B＝0（赤道上）所有点的法线交于椭球O点；
6）L不同，B不同的两点，其法线将在空间交错，而互不相交。
设在椭球上（忽略垂线偏差的影响）A点和B点分别安置经纬仪，仪器纵轴分别与Aka，BKb重合，则： 由A照准B→AaBKa法截面→AaB截线； 由B照准A→BbAKb法截面→BbA截线。
由上述6）可知，两法截线N1，N2空间交错，故两法截面AaBKa与BbAKb不重合。所以，两法截线AaB
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b B a A N1 A1 B1 B2 N2 o Ka Kb 第七章 椭球面上的基本计算 2006版 控制测量学讲稿
与BbA不重合，称：
AaB与BbA为A、B两点间的相对法截弧。 AaB为A的正法截弧，B的反法截弧； BbA为B的正法截弧，A的反法截弧；
相对法截弧通常不重合，造成在椭球面上A，B，C三个点测得的角度（各点的正法截弧之夹角），不能构成闭合三角形。
C A B 故，有必要在两点间选一条单一的方向线——大地线，得出由大地线组成的 C 单一闭合三角形。
二、大地线定义及其性质
1.几个概念（微分几何概念） 1）密切平面：“包含曲线上一点处的切线和曲线上无限趋近该点的另一点”
A B 的平面；
2）法线：曲线上“正交于切线的一切直线”； 3）主法线：曲线上“位于密切平面内的法线”； 4）曲面法线：曲面上“与一点处切平面正交的线段”。 2.大地线定义及其性质
1）定义 AD AD 微分几何定义：大地线上每点的密切平面包含该点的曲面法线； 或：大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合；
D 或：曲面上两点间的最短线叫大地线。
D′ 2）性质 ①椭球面上的大地线是一条空间双曲率曲线（子午圈和赤道是特例）；
②大地线是两点间距离最短的曲线。 3）旋转曲面上大地线的克莱劳定理
r?sinA＝C
式中：r——大地线上某点所在的平行圈半径
A——大地线在该点的大地方位角 C——常数
定理的几何意义：就旋转椭球面而言，大地线上各点的平行圈半径r与大地方位角的正弦的乘积为一常数。 由克莱劳方程可知椭球面上大地线所经历的路线。图中为大地线从赤道上D点处，以方位角AD出发所经历的路线，一般不再返回到D，而是到达D′点（大地线沿子午圈：A＝0°、赤道：A＝90°才能返回原点）。
练习及作业： 1.阅读
§7.5 7.5.1；7.5.2 2.思考
①作图并理解相对法截弧不重合；
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②从几何意义上理解大地线； ③理解大地线在测量计算上的意义。
§6 地面观测值归算到参考椭球面上
一、建立大地坐标系 1.基本原理
建立大地坐标系，就是确定代表地球形体的椭球的形状与大小（椭球参数）、中心的位置（定位）以及椭球旋转轴的方向（定向）。
⑴椭球参数的确定
椭球参数是通过弧度测量求得的。
在前空间大地测量时代，（近代）弧度测量利用天文、大地、重力测量资料，求得适合于局部范围的椭球几何参数。
进入空间大地测量时代以来，测量精度不断提高，在全球尺度上已达到几个厘米的量级。在这种精度的基础上，以前无需考虑的地球动力学因素现在必须加以考虑。同时，空间大地测量极大发展，促进现代弧度测量整体利用地面、空间的几何、物理大地测量数据，求得适合全球范围的几何和物理两个方面的椭球参数。
⑵椭球定位
①局部定位：在一定范围内椭球面与大地水准面有最佳符合，椭球中心与地球质心不必重合。 ②地心定位：在全球范围内椭球面与大地水准面有最佳符合，椭球中心与地球质心重合。 ⑶椭球定向
规定应满足双平行条件 ①椭球短轴平行地球自转轴
②大地起始子午面平行于天文起始子午面 综上：
满足双平行条件，经局部定位的椭球，叫参考椭球。参考椭球上的坐标系叫参心坐标系。 满足双平行条件，经地心定位的椭球，叫总地球椭球。椭球上的坐标系叫地心坐标系。 2.参考椭球定位与定向 ⑴天文坐标系 ①天文坐标系的概念
参考面——重力等位面（大地水准面）；
P点的天文子午面——过P点的铅垂线，且平行地球旋转轴的平面；
本初子午面——1884年：格林威治天文台艾里中星仪所在的子午面；1968年：平均天文台子午面； P点的天文经度——P点的天文子午面与本初子午面之间的两面角（λ） P点的天文纬度——P点的铅垂线与地球赤道的夹角（?）
天文方位角?PQ——过P点垂线和Q点的平面，与P点的天文子午面之间的夹角。 ②天文、大地坐标的比较
参考面
天 文 坐 标 大地水准面 大 地 坐 标 椭球面 98