第七章 椭球面上的基本计算 2006版 控制测量学讲稿 投影依据 重力线的切线方向 （铅垂方向） λ，?，H常，? PQ （实测得到） 外业测量的基准 法线方向 L，B，H大，APQ （计算需要） 内业计算的基准 确定点位及方向 测量中作用 ⑵参考椭球定位与定向 ①一点定位
选一个定位标准点P，用天文的方法，精确测定该点的天文坐标λ0，? 0，该点至另一点Q的天文方位角?
0PQ，以及该点至大地水准面的高程
H正。
人为地假定参考椭球面上点P0的大地坐标、方位角、高程为：
L0＝λ0；B0＝? 0；A0＝? 0；H大＝H正
从而通过P点，使选定的参考椭球体与大地体的相互位置关系确定下来，P0点处大地水准面与参考椭球面重合。P0点称为大地基准点，其定位数据称为大地基准数据。
除P0点外的其它点：
1）有垂线偏差（地面点对大地水准面的垂线，与对参考椭球面的法线不重合，二者夹角u为垂线偏差） 2）有大地水准面差距N。
（注：垂线偏差的大小、方向，与参考椭球的大小、形状、定位有关，故也称为相对垂线偏差） ②多点定位
多点定位是以多个点（如我国1980国家大地坐标系椭球定位，是在全国均匀地选了922个点），按∑ζ标原点，大地水准面不再与椭球面相切，铅垂线与法线不重合而存在垂线偏差u。
③大地原点和大地起算数据
依据大地原点的天文观测值，通过椭球定位计算出大地原点在大地坐标系中的数据LK，BK，HK及至某一相邻点的大地方位角AK。这些数据用来推算控制网中其它点的坐标。LK，BK，AK叫做大地测量基准，也叫做大地测量起算数据，大地原点叫做大地基准点，也叫做大地起算点。
二、地面观测值化算到椭球面上 化算内容：
2
＝min（ζ——高程异常）解算。这样，使局部（如我国境内）椭球面与大地水准面达到最佳密合，但对于坐
地 面 观 测 值 天文经纬度λ，? 天文方位角? 通过标石中心的方向值 平均高程面上的长度S0 1.天文方位角?归算为大地方位角A
椭 球 面 元 素 大地经纬度L、B（天文测量学） 大地方位角A 大地线方向 椭球面上大地线长度S 在地面上进行天文观测时，经纬仪的纵轴与垂线重合，因垂线与法线之间存在垂线偏差，故地面上测定的天文方位角?与大地方位角A不同。
（不加推导），给出天文方位角归算为大地方位角的公式如下：
A＝?－(λ－L)sin??
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第七章 椭球面上的基本计算 2006版 控制测量学讲稿
或： A＝?－ηtan?? 式中：?——点到另一点的天文方位角（天文观测得到）
λ，?——点的天文经纬度（天文观测得到） L——点的大地经度（推算得到）
η——垂线偏差的卯酉分量（查垂线偏差图或物理大地测量得到）
上式称拉普拉斯方程式，由它算得的方位角称拉普拉斯方位角。国家一二等大地网中，规定每隔一定间隔测定天文经纬度和天文方位角（《控制测量学》上册P15、P16）。其目的：1）利用天文方位角和天文经纬度计算拉普拉斯方位角，控制整个大地网的定向；2）根据天文经纬度和大地经纬度，计算这些点的垂线偏差（垂线偏差的子午分量ξ＝?－B；卯酉分量η＝(λ－L)cos??），其余点的垂线偏差由物理大地测量得到。
2.方向值归算到椭球面上（三差改正） ①垂线偏差改正数δ
u
图为以测站P为中心的单位圆。 图中：P——测站 M——照准点 PZ——法线方向 PZ1——垂线方向 u——垂线偏差
ξ、η——垂线偏差的子午分量和卯酉分量 ? 1——观测方向的垂直角 N——北方向
由于u存在，观测方向M时，引起方向值的改正数为δu
Z ξ u Z1 η N M ?1 P δu R1 R2 δu＝－(ξsinA－ηcosA)tan?? 1
式中：ξ、η——可从垂线偏差图内插得到
A——PM边的大地方位角
R2＝R1＋δu
式中 R2——以法线为准的方向值
R1——以垂线为准的方向值 通常，因ξ、η很小，?≈0，故δ
u
很小，只有在一二等网才规定计算此项。但在山区或垂线偏差变化较
大地区，三四等网亦应计算此项。下面给出δu的数值概念：
ξ、η /″ 5 10 10 APM /° 0 0 315（sinA，cosA反号） ? PM /°′ 0 30 0 30 3 00 δu /″ 0.05 0.10 0.74 100
第七章 椭球面上的基本计算 2006版 控制测量学讲稿
N 如图：
B ——A已做过垂线偏差改正，即A点处经纬仪纵轴与椭球 P2′ 面法线一致； δh P2——A、B两点沿各自的法线在椭球面上的投影为P1、P2。 A P1 ——按归算要求，地面点应沿各自的法线投影到椭球面 ka 上，所以AB在椭球面上的方向应是P1P2的方向。 ——实测由A照准B点时，法截面ABKa在椭球面上得到 kb 的法截弧是P1P2′，P1P2′与P1P2的夹角δh是由B点的高程引起，故应进行改正数δh的计算，并将实测的P1P2′方向归算到P1P2方向。
②照准点高程引起的改正——标高差改正δh
????h???2M2e2H2cos2B2sin2A1
h2/m 200 1000 4000 δh/″ 0.02 0.08 0.32 式中：M2——照准点的子午曲率半径
H2——照准点的大地高，H2= H常＋ζ＋v A1——测站点至照准点的大地方位角 B2——照准点的大地纬度
表中给出δh的数值概念。若：B2＝30°；A12＝45°
③正法截弧方向归算到大地线方向的改正数——截面差改正δg
经过δu，δh改正后，已经将地面观测之水平方向值，化算为椭球面上的相应法截线方向。因相对法截线一般不重合，所以应将椭球面上法截线方向加截面差改正δg，化为大地线方向。
?g?????12N21e2S2cos2B1sin2A1
式中：N1——1点处的卯酉曲率半径，以公里为单位
S——1、2点间的距离，以公里为单位 B1——1点的纬度
A1——1至2点的大地方位角 （注：相对法截弧之间的角差?????4N21e2S2cos2B1sin2A1 ）
2 δg 1 δg是一项很微小的改正，仅在国家一等网方向计算时顾及。 至此，归算到参考椭球面上的方向值：
L＝l＋c＋r＋δu＋δh＋δg
式中：l——测站平差值
c、r——归心改正数 δu、δh、δg——三差改正
3.将地面测量的长度归算到参考椭球面上 ①基线尺量距的归算
基线平均水准面 S′ 2 1 S0 平行椭球面的高程面 ⊿Su u1 u2 法 垂 法 垂 线 线 线 线 101
第七章 椭球面上的基本计算 2006版 控制测量学讲稿
1）垂线偏差对长度归算的影响
由于垂线偏差的存在，使得垂线和法线不一致，水准面不平行于椭球面；基线尺测得的长度值经倾斜改正后，可认为是基线平均水准面上的长度值S′，首先应将其改成平行于椭球面的该高程面的长度S0。
假设垂线偏差沿基线是线性变化的，则垂线偏差u对长度归算影响为：
?Su????u2??)2u??(u1?h?m(H2?H1) ???????式中：u1，u2——1，2点处，垂线偏差在基线方向上的分量
H1，H2——1、2点的大地高
此项改正较小，且与垂线偏差分量u1，u2及两端点大地高差H2－H1有关，是否需要改正，需结合测区情况及精度要求具体分析。
S0 2）高程对长度归算的影响 1 2 经过垂线偏差改正后，得到平行于椭球面的基线高程面上的基线长度S0，其 Hm S 在椭球面上的长度S为： S0R?HmH R R ??1?m
SRR H 即： S?S0(1?m)?1 R展开取至二次项：
2HmHmS?S0(1??2)
RR式中：Hm＝(H1＋H2)/2
顾及垂线偏差对长度归算的影响，地面基线长度归算到椭球面上的长度公式为：
S?S0(1???Hm?1um)?(H2?H1) R???②电磁波测距的归算
Q2
D Q1 H2 H1 S Q1′ Q2′ RA ?? o 已知大地点Q1和Q2之间用电磁波测距仪测得的直线距离D，求大地点Q1和Q2沿法线在椭球面上的投影点Q1′和Q2′间的大地线长度。
推导公式过程中有两点近似：
1）椭球面上两点间的大地线长度与法截线长度之差极微小，可以忽略不计；
2)两点间法截线长度，与半径为起始点曲率半径的圆弧长相差亦很微小（当S＝640km时，二者相差0.3m；S＝200km时，二者相差0.05m），可以忽略不计。
故，所求大地线长度可以认为是半径RA的圆弧长。由平面三角形Q1Q2O，根据余弦定理有：
(RA?H1)2?(RA?H2)2?D2 cos??2(RA?H1)(RA?H2)另： cos??cosS?1?2sin2S
RA2RA
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第七章 椭球面上的基本计算 2006版 控制测量学讲稿
22D?(H?H)S21由以上二式可得： sin ?2RA4(RA?H1)(RA?H2)2由上式解出： S?2RarcsinDA2RAH2?H12)D HH(1?1)(1?2)RARA1?(将上式按反正弦函数展开，舍去五次项，则得：
H2?H12)D3 （1） D S?D?3H1H224RA(1?)(1?)RARA1?(式中：H1，H2——大地高，H＝H常＋ζ（若要S的精度不低于10-6级，D＜10km时，⊿h＝H1－H2的精度须达
到0.1m，H本身的精度须达5m级）
RA——1点（大地方位角为A）的平均曲率半径，精度达1km即可 为某些应用及了解归算公式的几何意义，上式又可简化为：
23Hm1?hD S?D?? （2） ?D?22DRA24RA上式第二项是两端点高差引起的倾斜改正主项，经过此项改正，测线值已变成了平距；第三项是平均测线高出椭球面引起的投影改正，经此项改正后，测线值已变成了弦线；第四项则是由弦长改化为弧长的改正数。
例：已知B1＝35°，B2＝35°02′，A＝30°（算得RA＝6366km），H1＝800m，H2＝1000m，D＝3456.789m 根据（1）式算得S＝3450.511m 根据（2）式算得S＝3450.513m
(应以（1）式结果为准，（2）式结果作为检核)
练习及作业： 1、阅读
①、教材§7.6；§7.7；§10.1；§10.2 ②、梅是义、孔祥元主编《控制测量学》§6-7 2、思考
①、椭球定位的意义和基本方法；
②、地面观测值归算到参考椭球面上的内容有哪些？ ③、天文方位角如何归算为大地方位角？
④、地面方向观测值如何归算为椭球面上的大地线方向？ ⑤、作图并说明“三差改正”；
⑥、“三差改正”各在什么等级、何种情况下进行？ ⑦、作图并理解两种地面测量的长度归算到椭球面的方法。
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