学习改变命运，思考成就未来
2008年全国中考数学压轴题精选（一）
1（08福建莆田26题）（14分）如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.
（2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线y?ax2?bx?c的对称轴为x??b） 2a
（08福建莆田26题解析）（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4) 因为B（0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以抛物线解析式为y??(x?3)(x?4)??13121x?x?4 33解法二：设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c(a?0)，
1?a????9a?3b?4?0?3依题意得：c=4且? 解得?
?16a?4b?4?0?b?1?3? 所以 所求的抛物线的解析式为y??
（2）连接DQ，在Rt△AOB中，AB?121x?x?4 33AO2?BO2?32?42?5
所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2
因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB
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DQCDDQ210??,DQ? 即ABCA57710252525?1?所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，t?
777725所以t的值是
7（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为x??b1? 2a21对称 2所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线x?连接AQ交直线x?1于点M，则MQ+MC的值最小 2过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO
10QEDQDEQEDE?? 即 ?7?BOABAO45386620208所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）
777777设直线AQ的解析式为y?kx?m(k?0)
8?20?k?m?则?77 由此得 ???3k?m?08?k???41 ?24?m???411?x??824?2x?所以直线AQ的解析式为y? 联立?
8244141?y?x???41411?x??128?2) 由此得? 所以M(,824241?y?x???4141则：在对称轴上存在点M(
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128,)，使MQ+MC的值最小。 241 学习改变命运，思考成就未来
2（08甘肃白银等9市28题）（12分）如图20，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）． ．．(1) 点A的坐标是__________，点C的坐标是__________； (2) 当t= 秒或 秒时，MN=
1AC； 2(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
(4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．
图20
（08甘肃白银等9市28题解析）本小题满分12分
解：(1)（4，0），（0，3）； ······················ 2分 (2) 2，6； ···························· 4分 (3) 当0＜t≤4时，OM=t． 由△OMN∽△OAC，得∴ ON=
OMON?， OAOC33t，S=t2． ········· 6分 48当4＜t＜8时，
如图，∵ OD=t，∴ AD= t-4． 方法一：
33(t?4)，∴ BM=6-t． ········· 7分 444由△BMN∽△BAC，可得BN=BM=8-t，∴ CN=t-4． ········· 8分
3由△DAM∽△AOC，可得AM=
S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积- Rt△MBN的面积- Rt△NCO的面积
3133(t?4)-（8-t）（6-t）-(t?4) 222432=?t?3t． ························· 10分
8=12-方法二：
易知四边形ADNC是平行四边形，∴ CN=AD=t-4，BN=8-t． ·········· 7分
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由△BMN∽△BAC，可得BM=以下同方法一． (4) 有最大值． 方法一： 当0＜t≤4时，
333BN=6-t，∴ AM=(t?4)． ······ 8分 44432t的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大， 832∴ 当t=4时，S可取到最大值?4=6； ··············· 11分
8∵ 抛物线S=当4＜t＜8时， ∵ 抛物线S=?32t?3t的开口向下，它的顶点是（4，6），∴ S＜6． 8综上，当t=4时，S有最大值6． ··················· 12分 方法二：
?32t，0?t≤4??8∵ S=?
??3t2?3t，4?t?8??8∴ 当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图像，如图所示． ······· 11分 显然，当t=4时，S有最大值6． ·················· 12分
说明：只有当第（3）问解答正确时，第（4）问只回答“有最大值”无其它步骤，可给1分；否则，
不给分．
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3（08广东广州25题）（14分）如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米 （1）当t=4时，求S的值
（2）当4?t???，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值
图11
（08广东广州25题解析）（1）t＝4时,Q与B重合，P与D重合， 重合部分是?BDC＝
1?2?23?23 2 5