学习改变命运，思考成就未来
4（08广东深圳22题）如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），
OB＝OC ，tan∠ACO＝
1． 3（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
yy
AOBxAOBE x GCC
DD
图 96
图 10 学习改变命运，思考成就未来
（08广东深圳22题解析）（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ?1分
?a?b?c?0?将A、B、C三点的坐标代入得?9a?3b?c?0 ??????????2分
?c??3??a?1?解得：?b??2 ??????????3分
?c??3?所以这个二次函数的表达式为：y?x2?2x?3 ??????????3分 方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ??????????1分 设该表达式为：y?a(x?1)(x?3) ??????????2分 将C点的坐标代入得：a?1 ??????????3分 所以这个二次函数的表达式为：y?x2?2x?3 ??????????3分 （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）
（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3） ??????????4分 理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y??x?3
∴E点的坐标为（－3，0） ??????????4分 由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F，坐标为（2，－3） ??????????5分 方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y??x?3
∴E点的坐标为（－3，0） ??????????4分 ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合
∴存在点F，坐标为（2，－3） ??????????5分 （3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R）， 代入抛物线的表达式，解得R?1?17 ????6分 2My1RRN②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0）， 则N（r+1，－r）， 代入抛物线的表达式，解得r??1?17 ???7分 2AMO1rrNBx∴圆的半径为
1?17?1?17或． ?????7分 227
D
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（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，－3），直线AG为y??x?1．?????8分 设P（x，x?2x?3），则Q（x，－x－1），PQ??x?x?2．
22S?APG?S?APQ?S?GPQ?当x?
1(?x2?x?2)?3 ??????????9分 21
时，△APG的面积最大 2
此时P点的坐标为?,??1?22715?． ??????????10分 ?，S?APG的最大值为84?
5（08湖北恩施24题）(本大题满分12分) 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和
AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n. （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.
（3）以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如
图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE. （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明
理由.
A y A 222222B D E G C B D O E G C x F F 图11 图12 8
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（08湖北恩施24题解析） (本大题满分12分)
解:(1)?ABE∽?DAE, ?ABE∽?DCA 1分 ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45° ∴∠BAE=∠CDA 又∠B=∠C=45°
∴?ABE∽?DCA 3分 (2)∵?ABE∽?DCA
∴
BEBA? CACD 由依题意可知CA=BA=2
∴
m2?2 n ∴m=
2 5分 n 自变量n的取值范围为1 2 n∴m=n=2 ∵OB=OC= 1BC=1 2∴OE=OD=2－1 ∴D(1－2, 0) 7分 ∴BD=OB－OD=1-(2－1)=2－2=CE, DE=BC－2BD=2-2(2－2)=22－2 ∵BD＋CE=2 BD=2(2－2)=12－82, DE=(22－2)= 12－82 ∴BD＋CE=DE 8分 (4)成立 9分 证明:如图,将?ACE绕点A顺时针旋转90°至?ABH的位置,则CE=HB,AE=AH, ∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°. A H C B D E G F 9 222222222 学习改变命运，思考成就未来 连接HD,在?EAD和?HAD中 ∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD. ∴?EAD≌?HAD ∴DH=DE 又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90° ∴BD+HB=DH 即BD＋CE=DE 12分 6（08湖北荆门28题）（本小题满分12分） 2 已知抛物线y=ax+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=－4ac． (1) 求抛物线的解析式； (2) 在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说明理由；若存在， 求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标； (3) 根据(2)小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系? y y C P B P B A x O D x O P2 A P1 第28题图 第28题图 （08湖北荆门28题解析）解：(1)由抛物线过B(0,1) 得c=1． 又b=-4ac, 顶点A(-222222b,0), 2a10