式中：?L为长度有效系数：
?L=1- [tanh(1/2) ?l]/(1/2) ?l]， ? = [8Gm / Efdloge(2 ? /d)]?0为取向有效因子：
2
1/2
Ef ：纤维弹性模量； 2 ? ：纤维间距； Gm：基体剪切模量。
3-2、短纤维增强复合材料的抗张强度
若 l < l c， ?cu= （? l / d）Vf + ?m （1 -Vf ） 当 l > l c时： ?cu= ?fu [ 1-（l c/ 2 l）]Vf + ?m （1 -Vf ）
或 ?cu= 2 ? l c / d [ 1 -(l c / 2 l )]Vf + ?m (1 -Vf )
l > 10 l c时，短纤维增强复合材料性能趋近于连续纤维性能； l < 5 l c时， 短纤维增强复合材料性能远不如连续纤维性能。
图 4 – 6 短纤维复合材料的强度与纤维长度的关系示意图
30
第五章 复合材料力学和结构设计基础
一、复合材料力学：
研究对象：单层板和层合板两个结构层次。
研究内容：微观力学：纤维、基体组分性能与单层板性能的关系。 宏观力学：层合板的刚度与强度分析、温湿环境的影响等。
1、 单层复合材料
1-1“微观力学”方法：
承认材料的多相性，研究各相材料的相互作用。运用非均质力学的手段描述各相中的真实应力场和应变场，在某些假定的基础上建立起分析模式，以模拟、分析和预测复合材料的宏观力学性能。其结果必须用宏观试验来验证。在解释机理、发现材料本质，提出改进和正确使用复合材料的方案时是十分重要的。
1-2“宏观力学”方法：
假定材料是均匀的，将各相材料的影响作为复合材料的平均表现性能来 考虑。材料的各类参数（如应力、应变等）定义在宏观尺度上，是在宏观尺 度上的某种平均值，称之为 “表观参数”。
在宏观力学中，材料的各类参数只能靠宏观试验来获得。宏观力学始终 以试验结果作为根据，具有很强的实用性和可靠性。
2、 层合复合材料：
承认材料在板厚方向的非均质性，即层合板是由若干单层板所构成，由 此发展起来的理论称为“层合理论”。该理论以单层复合材料的宏观性能为 依据，以非均质力学的手段来研究层合复合材料的性能，属于宏观力学的范 围。
二、复合材料的单层设计
复合材料的设计包括“单层设计”、“铺层设计”和“结构设计”三个 层次。
单层设计：包括增强材料、基体材料及配比的选择。
独立的弹性参数：纵向弹性模量 EL、横向弹性模量 ET、纵横向泊松 比、纵横向剪切模量 GLT 。
交叉效应：在材料的非主方向坐标系中，正应力会引起剪应变，剪应力
31
会引起线应变。这是各向同性材料所没有的现象。
基本强度：纵向拉伸强度（FLt）、纵向压缩强度（FLc ）、横向拉伸强 度（FTt）、横向压缩强度（FTc）、纵横向剪切强度（FLT）。 单层板的各类参数都是方向的参数。
1、单向层弹性常数预测公式
纵向弹性模量： EL = Ef Vf + Em（1-Vf） 纵向泊松比： ?L = ?f Vf + ?m（1- Vf）
横向弹性模量： ET = Ef Em / [ Em Vf + Ef（ 1-Vf）] 修正公式： 1/ ET = Vf / Ef + Vm / Em
Vf = Vf /（ Vf+ ?f Vm）, Vm= ?T Vm /（ Vf+ ?TVm） 横向泊松比： ?T = ?L ET / EL
面内剪切弹性模量： GLT = Gm Gf / [ Gm Vf + Gf（ 1-Vf）] 修正公式： 1/ GTL = Vf / Gf + Vm / Gm
Vf = Vf /（ Vf+ ?LT Vm）, Vm=?LT Vm /（ Vf+ ?LT Vm）
? 值由试验确定，对玻璃 / 环氧 可取 0. 5。 Halphin - Tsai 半经验公式：
M = Mm ( 1+? ? Vf ) / ( 1- ? Vf ) M 和 Mm 为复合材料和基体的有关性能； ? = ( Mm / M f - 1) / (1+ ? Mm / M f) ? : 增强作用的量度
? 取 2 时，估算ET ；? 取1 时，估算GLT ；? 取 ? 时，估算Em 。
2、 正交层的工程弹性常数预测公式
纵向弹性模量： EL = k [EL1 nL / (nL+ nT) + ET2 nT / (nL+ nT) ] 横向弹性模量： ET = k [EL2 nL / (nL+ nT) + ET1 nT / (nL+ nT) ] 纵向泊松比： ?L = ?L1 ET1 (nL+ nT) / ( nL ET1 + nT EL2) 横向泊松比： ?T = ?L ET / EL； 面内剪切弹性模量： GLT = k GL1 T1
nL、nT ：单位宽度的正交层中经向、纬向的纤维量。 EL1、 EL2：经线和纬线作为单向层时纤维方向的弹性模量。 ET1、 ET2：经线和纬线作为单向层时垂直纤维方向的弹性模量。 ?L1：由经线和纬线作为单向层时的纵向泊松比。
GL1 T1：由经线和纬线作为单向层时的面内剪切弹性模量。
32
K：波纹影响系数，取 0. 90 - 0. 95 。
3、 单层板强度预测公式 1) 纵向拉伸强度预测公式：
?T = ?f Vf + ?m（1 - Vf ）； Vf ? Vfmin ?T = ?mu（1 - Vf ）； Vf ? Vfmin ?f ：纤维的抗张强度；?m：对应纤维断裂应变? f时基体的抗张强度。 Rosen纤维统计强度模型：
纤维复合材料常用的纤维一般多是高强脆性纤维，纤维强度有较大的离散性，因此Rosen考虑统计强度分布模型，得到纵向拉伸强度： ?T max = ? ref Vf [（1 - Vf
1/2
）/ Vf
1/2
]
1/2?
? ref为参考应力，是纤维和基体性能的函数；
? 是纤维强度韦泊分布的统计参数。
单向纤维复合材料纵向拉伸破坏机理
破坏过程的 3 个阶段：第一阶段是低应力下少数纤维的早期断裂阶 段；第二阶段是损伤的扩展阶段；第三阶段是最终破坏阶段。
3 个阶段的发展都与纤维、基体及界面的性能密切相关。
复合材料采用的高强纤维的脆性、其强度的离散性决定了在较低应力下就有少量纤维首先断裂。纤维一旦断裂，在断口附近界面上有较大的剪应力（η
m）集中和在断口裂纹尖端的基体中有较大的正应力（ζm）集中（图
5
– 1）；并将断裂纤维卸下的应力传递到相邻纤维，使断口附近的纤维有“过应力”— 比远处平均应力更高的应力（图5 – 2）。
图5 – 1 纤维断口处界面和基体应力 图5–2 纤维断口处断裂纤维和相邻纤维
的应力
33
可以设想复合材料有4 种损伤扩展形式： 1）纤维和基体在界面上脱粘（图5 – 3a）； 2）基体屈服（图5 – 3b）；
3）纤维断口裂纹直接向基体内扩展（图5 – 3c）； 4）相邻纤维相继发生断裂。
根据不同的损伤扩展形式，最终导致 3 种典型的破坏形式： 1）纤维束型的破坏。没有发挥纤维的最高强度（图 5 – 4a）。 2）断裂型破坏。纤维强度发挥最低（图 5 – 4b）。
3）积累损伤型破坏。可发挥纤维的最高强度（图 5 – 4c）。
图5 – 3 纤维断口处的损伤扩展 图5 – 4 纤维复合材料的三种典型破坏形式
2） 纵向压缩强度预测公式：
单向复合材料的纵向压缩，由于纤维刚度远大于基体刚度，而纤维能承受压缩应力是由于得到了基体的横向支撑。因此单向复合材料的纵向压 缩强度问题实质上就是基体弹性支撑下纤维的临界失稳应力问题。
图5 – 5 纤维复合材料的拉压和剪切模型
Dowr和Rosen将纤维简化为片状，根据纤维屈曲失稳时可能为同向屈曲或反向屈曲，建立了横向拉压模型（纤维反向屈曲）和剪切模型（纤维同
34