21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
1?9?2?2?1,（1）由已知得c?22，因为椭圆?过点(3,1)，所以?a ???（2分） b?a2?b2?8,?2??a?12,解得?2 ?????????????（5分）
??b?4.x2y2所以，椭圆?的方程为 ??1． ?????????????（6分）
124（2）设直线l的方程为y?x?m， ?????????????（1分）
?y?x?m,?22由?x2得4x?6mx?3m?12?0 ① ?????????????（2分） y2?1,???124因为直线l与椭圆?交于不同两点A、B，所以△?36m?16(3m?12)?0，
所以m?16． ???????????????????????（3分） 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1，x2是方程①的两根，所以x1?x2??设AB的中点为E(x0,y0)，则x0?2223m， 2x1?x23mm，y0?x0?m?， ????（4分） ??244因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PE?AB，向量PE是直线l的一个法向量， 所以PE∥向量(1,?1)，即??m?3m??3,?2?∥向量(1,?1)，
4?4?所以
3mm?3??2，解得m?2． ????????????????（5分） 442此时方程①变为4x?6x?0，解得A(?3,?1)，B(0,2)，所以|AB|?32．
又P(?3,2)到直线l：x?y?2?0的距离d?所以△PAB的面积S?|?3?2?2|32?， ???（7分）
2219|AB|?d?． ???????????????（8分） 22
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
（1）因为an?1?an，a1?4，所以an?4（n?N）， ???????（１分）
11
*an?cn4?cncna?bb???2，cn?1?nn?n?2， 2222211cn?1?bn?1?(bn?cn)??(cn?bn)， ?????????????（2分）
221即数列{cn?bn}是首项为2，公比为?的等比数列， ??????????（3分）
2所以bn?1??1?所以cn?bn?2?????2?n?1． ?????????????????????（4分）
（2）解法一：bn?1?cn?1?1(bn?cn)?4， ??????????????（1分） 2因为b1?c1?8，所以b2?c2?8，b3?c3?8，
猜测：bn?cn?8（n?N）． ????????????????????（2分） 用数学归纳法证明：
①当n?1时，a1?b1?8，结论成立； ???????????????（3分） ②假设当n?k（k?N）时结论成立，即bk?ck?8，那么当n?k?1时，
**1ak?1?bk?1?(ak?bk)?4?8，即n?k?1时结论也成立． ???????（5分）
2由①，②得，当n?N时，an?bn?8恒成立，即an?bn恒为定值．????（6分）
*1(bn?cn)?4， ??????????????（1分） 2b?cn1所以bn?1?cn?1?8?n?4?(bn?cn?8)，????????????（4分）
22解法二：bn?1?cn?1?而b1?c1?8?0，所以由上述递推关系可得，当n?N时，bn?cn?8?0恒成立，即
*an?bn恒为定值．???????????????????????????（6分） ?bn?cn?8,n?11???n?1（3）由（1）、（2）知??1?，所以cn?4???2?，????（1分）
???cn?bn?2?????2???1?1????n2??1??2???4n??1?????， 所以Sn?4n?13?????2???1?????2?n2p??1??所以p?(Sn?4n)???1?????， ????????????????（2分）
3???2???n 12
n2p??1??由p?(Sn?4n)?[1,3]得1???1??????3，
3???2????1?因为1?????0，所以
?2?n1?1?1?????2??1?1?1????2?1?1?1????2?nnn?2p?33?1?1?????2?n， ????????（3分）
当n为奇数时，
1?1?1?????2?1?1?1?????2?nnn随n的增大而递增，且0?1?1?1?????2?1nn?1，
当n为偶数时，?随n的增大而递减，且
?1?1?????2??1，
所以，
1?1?1?????2?1n的最大值为
4，33?1?1?????2?n的最小值为2． ???????（4分）
由
?1?1?????2??2p?33?1?1?????2?n，得
42p??2，解得2?p?3． ????（6分） 33所以，所求实数p的取值范围是[2,3]．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
（1）假设f(x)是奇函数，那么对于一切x?R，有f(?x)??f(x)，
从而f(?0)??f(0)，即f(0)?0，但是f(0)?4?|2?a|?1?|1?a|?0，矛盾． 所以f(x)不是奇函数．（也可用f(1)?f(?1)?0等证明） ???????（4分） （2）因为2?0，4?0，所以当a?0时，f(x)?4?2?a，由f(x)?a，得
xxxx2004x?2x?a?a2，即4x?2x?a(a?1)?0，(2x?a)(2x?a?1)?0，????（2分）
因为2?a?0，所以2?a?1?0，即2??(a?1)． ?????????（3分） ①当a?1?0，即?1?a?0时，2??(a?1)恒成立，故x的取值范围是R；（4分） ②当a?1?0，即a??1时，由2??(a?1)，得x?log2[?(a?1)]，故x的取值范围是
xxxxx 13
(log2[?(a?1)],??)． ???????????????????（6分）
（3）令t?2，则t?0，原函数变成y?t?|t?a|．
①若a?0，则y?t?t?a在t?(0,??)上是增函数，值域为(?a,??)．?（2分）
2??t?t?a,0?t?a,②若a?0，则y??2 ???????????????（3分）
??t?t?a,t?a.x2211?1?对于0?t?a，有y??t???a?，当0?a?时，y是关于t的减函数，y的取值
42?2?范围是[a,a)；当a?221?111?时，ymin?a?，当?a?1时，y的取值范围是?a?,a?，
4?242???12?,a?． ????????????????（5分) 4?a当a?1时，y的取值范围是?a?1?1?对于t?a，有y?t?t?a??t???a?是关于t的增函数，
4?2?2其取值范围(a,??)． ?????????????????（7分） 综上，当a?0时，函数y?f(x)的值域是(?a,??)； 当0?a?当a?
14
212时，函数y?f(x)的值域是[a,??)； 211??时，函数y?f(x)的值域是?a?,???． ????????????（8分）
42??2013学年度长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试
数学试卷（文）参考答案与评分标准
2014年4月
注：解答题评分标准中给出的为各小题的累计分，请阅卷老师注意．
一．填空题（每小题4分，满分56分）
1．1?i 2．{?1,0,1} 3．? 4．10 5．8 6．8．
3π 7．(1,2) 42? 3??732π25? 9． 10．5.66 11． 12． 13．(??,?2)??0,32255?1 414．
二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．D 16．C 17．B 18．D
三．解答题（共5题，满分74分） 19．（本题满分12分，本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． （1）由正弦定理得，a?c?pb，所以a?c?5， ????（2分） 41?a?1,?1??a?,又ac?，所以?（少一组解扣1分） 4 ????（5分）1或?4c??4???c?1.2222（2）由余弦定理，b?a?c?2accosB?(a?c)?2ac?2accosB，??（1分）
12222即b?pb?b(1?cosB)， ????（2分）
2312所以p??cosB． ????（4分）
22?3?2由B是锐角，得cosB?(0,1)，所以p??,2?． ????（6分）
?2??6??． ????（7分） ,2由题意知p?0，所以p???2???
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）设AB?a，设棱锥Q?ABCD的体积为V1，棱锥P?DCQ的体积为V2． 由QA?AD，QA?CD，知QA是棱锥Q?ABCD的高， ????????（1分） 所以棱锥Q?ABCD的体积V1?13a． ????????????????（3分） 3 15