过y0小时，在点Q处与B相遇．
则P、Q两点坐标为（3vx0， 0），（0，vx0＋vy0）． 由|OP|2＋|OQ|2＝|PQ|2知，………………3分 （3vx0）2＋(vx0＋vy0)2＝(3vy0)2， 即(x0?y0)(5x0?4y0)?0．
?x0?y0?0,将①代入kPQ?5x0?4y0……①
x?y03??0,得kPQ??.
3x04又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置．
3x?b与圆O:x2?y2?9相切， 4|4b|15则有?3,?b?.
432?423答：A、B相遇点在离村中心正北3千米处
4设直线y??19．解：（1）∵|PM1|－5＝|PM2|－1，∴|PM1| － |PM2|＝4 ∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支。 c＝4，a＝2，b2＝12，
x2y2故所求轨迹方程为－＝1（x≥2）。
412?（2）当过M2的直线倾斜角不等于时，设其斜率为k，
2直线方程为 y＝k(x－4)
与双曲线 3x2－y2－12＝0联立，消去y化简得(3－k2)x2＋8k2x－16k2－12＝0 又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0
?8k2?0?x1?x2?2k?3??16k2?12?0由?x1x2?解得 k2>3。 2k?3??△?64k4?16(3?k2)(4k2?3)?0??由双曲线左准线方程 x＝－1且e＝2，有|AM1|2|BM1|＝e|x1＋1|2e|x2＋1|＝4[x1x2＋(x1＋x2)＋1]
33616k2?128k2＝4(＋＋1)＝100＋
k2?3k2?3k2?3
∵k2－3>0，∴|AM1|3|BM1|>100 又当直线倾斜角等于
?时，A(4，y1)，B(4，y2)，|AM1|＝|BM1|＝e(4＋1)＝10 2|AM1|2|BM1|＝100 故 |AM1|2|BM1|≥100。 20．解：设?ACB??,?BCO??，再设A(0,a)、B（0，b）、C（x，0）．
则tan(???)?ab, tan??． xxtan??tan[(???)??]
图一 图二 ab?a?ba?ba?btan(???)?tan?． ????xx ?abab1?tan(???)?tan?1?ab2abx?2x?2xxx当且仅当x?aba?b
,∵x2?ab,，∴x?ab时,tan?有最大值，最大值为， x2ab
∴ y?tanx在(0,?2)内为增函数．
∴ 角α的最大值为arctana?b2ab．此时C点的做标为(ab,0).
21． 解：（1）设M(a，ka)，N(b，－kb)，(a>0，b>0)。 则|OM|＝a1?k2，|ON|＝b1?k2。 由动点P在∠AOx的内部，得0 |kx?y|1?k2＝ kx?y1?k2，|PN |＝ |kx?y|1?k2＝ kx?y1?k2 ∴S四边形ONPM＝S△ONP＋S△OPM＝＝ 1（|OM|2|PM|＋|ON|2|PN|） 211[a(kx－y)＋b(kx＋y)]＝[k(a＋b)x － (a－b)y]＝k 22∴k(a＋b)x－(a－b)y＝2k ① 1y?ka1y?kb＝， kPN＝＝， kx?akx?bx?kyx?ky222 分别解得a＝，b＝，代入①式消a、b，并化简得x－y＝k＋1。 221?k1?k又由kPM＝ － ∵y>0，∴y＝x2?k2?1 （2）由0 222???x?k?1?0?x?k?1 (*) ??2??222222???x?k?1?kx?(1?k)x?k?1 ②当k＝1时，不等式②为0<2恒成立，∴(*)?x>2。 k2?11?k41?k42当0 1?k21?k21?k22 k2?12k?1当k>1时，由不等式②得x>，且<0，∴(*)?x>k2?1 22 1?k1?k 2 但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，所以还必须满足条件：y< 11x，将它代入函数解析式，得x2?k2?1 1?k2k2?12高三数学2单元测试卷参考答案 第八单元 圆锥曲线 一、选择题（每小题5分，共50分）： 题号 1 答案 D 2 C 3 D 4 B 5 B 6 C 7 D 8 D 9 D 10 C 二、填空题（每小题4分，共20分） 11．60°12． 1622 14．2 13．[(a,b) 15．5 ,1)5222三、解答题（共80分） 16．解：由已知，AB的方程为y＝x－5，将其代入 x2y290??1得7x2?90x?369?0.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2??. 7916AB的中点C的坐标为(?45808024580,?)，于是|CF|?(?)2?(??0)2? 777773. 设所求方程为 217．解：依题意，F（2，0），l：x?(x?2)2?y29?e,0?e?1,即(1?e2)x2?(4?3e2)x?y2?4?e2?0, 34|x?|24?3e23(4?3e2)2(4?3e2)其中心为A(∴A’的坐标为(?,0). ∵A与A’关于直线y＝2x对称，,) 2(1?e2)10(1?e2)5(1?e2)33(4?e2)312又A’在直线x??上,??。 ??,解之得e?2210(1?e)225(x?)212523y222于是所求方程为x?x?y??0,即??1. 112282418．解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，则A（－2，0），B（2，0）， C（2，3 ），D（－2，3）．依题意，曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分． 1x2y22?a?(|AD|?|BD|)?4,c?2,b?12,?所求方程为??1(?2?x?4,0?y?23). 21612x2y2??1 （2）设这样的弦存在，其方程y?3?k(x?2),即y?k(x?2)?3,将其代入1612得(3?4k2)x2?(83k?16k2)x?16k2?163k?36?0 设弦的端点为M（x1，y1），N（x2，y2），则由 x1?x283k?16k23?2,知x1?x2?4,???4,解得k??. 223?4k2∴弦MN所在直线方程为y??3x?23,验证得知，这时M(0,23),N(4,0)适合条件． 23x?23. 2故这样的直线存在，其方程为y??19．解（1）设点M的坐标为（x，y），则由 ???????????????3????yxy3yPM??MQ.得P(0,?),Q(,3),由HP?PM?0,得(3,?)?(x,)?0, 22322 所以y2＝4x 由点Q在x轴的正半轴上，得x>0，所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点， 以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点． （2）设直线l：y＝k(x＋1)，其中k≠0代入y2＝4x，得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0 ① 设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两个实数根，由韦达定理得 2(k2?2)x1?x2??,x1x2?1 k22?k22,)，线段AB的垂直平分线方程为 所以，线段AB的中点坐标为(2kk212?k2y???(x?2), kkk令 y?0,x0?E(22?1(?1,0)。因为△ABE为正三角形，所以，点 ，所以，点E的坐标为 22kk2?1,0)到直线AB的距离等于 k2341?k2222|AB|,而|AB|?(x1?x2)?(y1?y2)??1?k. 22k231?k221?k2311所以，?解得k??,所以x?. 02k|k|23b2b2bb2bc220．（1）易得M(c,),kOM?,kAB?,???b?c?a?2c,?e??. aacaacaa2222|FC1|?|F2C|?|F1F2|（2）证：由椭圆定义得：|FC 1|?|F2C|?2a,cos?FCF12?2|FC||FC|1224a2?4c2?2|FC||FC|2b12???1. 2|FC|FC1||F2C|1||F2C|22|FC|?|FC|2b2c?2212|FC||FC|?()?a,?cos?FCF??1??1?0,??FCF?. 121212222a2c2（3）解：设直线PQ的方程为y??a(x?c),即y??2(x?c) ．代入椭圆方程消去x得： b(1?1y?c)2y222c2c2222?2?1，整理得：5y?22cy?2c?0,?y1?y2?,y1?y2??. 2ab55222c28c248c2143c2∴(y1?y2)?()??.S?PF2Q??2c?|y1?y2|??203,c2?25, 552525x2y2??1. 因此a＝50，b＝25，所以椭圆方程为 50252 2 21．解：（1）∵a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8 ∴点M（x，y）到两个定点F1（0， x2y2??1 －2），F（2）的距离之和为8 ∴点M的轨迹C为F1、F2为焦点的椭圆，其方程为20， 1216（2）∵l过y轴上的点（0，3），若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点，这时 ????????????OP?OA?OB?0。 ∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾， ∴直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋3，A（x1，y1），B(x2，y2) ?y?kx?3?由?x2y2消y得:(4?3k2)x2?18kx?12?0此时??(18k)2?4(4?3k2)(?21)?0 ?1???1216恒成立． 18k21,xx?? 124?3k24?3k2????????????∵OP?OA?OB，∴四边形OAPB是平行四边形 且x1?x2??????????若存在直线l使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即OA?OB?0 ????????????????∵OA?(x1,y1),OB?(x2,y2)?OA?OB?x1?x2?y1?y2?0 即(1?k2)x1x2?3k(x1?x2)?9?0即(1?k2)(?21k2)?3k(?18k2)?9?0?k2?5,?k??5 4?3k4?3k164