∴存在直线l:y??5x?3使得四边形OAPB为矩形． 4
高三数学2单元测试卷参考答案
第九单元 [简单几何体]，交角与距离
一、选择题 题号 1 答案 C 2 D 3 C 4 A 5 A 6 B 7 D 8 A 9 C 10 C 二、填空题11．3； 12．3； 13．π； 14．①③④ 15．①③④ 三、解答题 16．证明：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．??????????1分 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，??????????2分 则A（
11113，0，0），B（，1，0），C（－，1，0），D（－，0，0），V（0，0，）， 22222????????????13∴AB?(0,1,0),AD?(1,0,0),AV?(?,0,)????????????3分
22????????????????由AB?AD?(0,1,0)?(1,0,0)?0?AB?AD??????????????4分
????????????????13AB?AV?(0,1,0)?(?,0,)?0?AB?AV??????????????5分
22又AB∩AV＝A
∴AB⊥平面VAD????????????????????????????6分
????（Ⅱ）由（Ⅰ）得AB?(0,1,0)是面VAD的法向量????????????7分 ?设n?(1,y,z)是面VDB的法向量，则
?????x??1?13??n?VB?03??(1,y,z)?(?,1,?)?0????n?(1,?1,)??9分 ????????2233??z???n?BD?0?(1,y,z)?(?1,?1,0)?03???????∴cos?AB,n??(0,1,0)?(1,?1,3)3??21，??????????????11分
7211?3又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为arccos17．解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.
21????12分 7
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1
所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0）， B（0，3，0），C（0，1，3） O1（0，0，3）.
图3
从而AC?(?3,1,3),BO1?(0,?3,3),AC?BO1??3?3?3?0. 所以AC⊥BO1.
（II）解：因为BO1?OC??3?3?3?0,所以BO1⊥OC，
由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，BO1是平面OAC的一个法向量. 设n?(x,y,z)是0平面O1AC的一个法向量， ?n?AC?0??3x?y?3z?0,由?????n?OC?0?y?0.1?取z?3, 得n?(1,0,3).
设二面角O—AC—O1的大小为?，由n、BO1的方向可知???n，BO1>，
所以cos??cos?n，BO1>=n?BO1?3.
4|n|?|BO1|即二面角O—AC—O1的大小是arccos
3. 4解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
O1
C 即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO1，
F OC是AC在面OBCO1内的射影.
D E O1C3， 因为tan?OOB?OB?3 tan?OOC??11OO13OO1O B 所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1
由三垂线定理得AC⊥BO1.
（II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC. A 图4 设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC. 所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.
由题设知OA=3，OO1=3，O1C=1， 所以O1A?从而O1F?OA2?OO12?23,AC?O1A2?O1C2?13，
O1A?O1C23， ?AC13又O1E=OO12sin30°=
3， 2
所以sin?O1FE?O1E313. ?. 即二面角O—AC—O1的大小是arcsin4O1F418．解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐1
标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(12，0，)，D(0，2，0)，E(0，1，)，P(0，0，1)．
2
????????????????????1
∴CD＝(－1，0，0)，AD＝(0，2，0)，AP＝(0，0，1)，AE＝(0，1，) ，PC＝(1，2，－1)，
2
?????????CD?AD?0?CD?AD??????????CD?平面PAD?(1) CD?AP?0?CD?AP?平面PAD．??5分 ????平面PDC⊥
CD?平面PDC?AP?AD?A???1????????2－????????2AE?PC30
?????＝(2)∵cos?AE,PC?????＝，
101|AE|?|PC|1+26
4
30
∴所求角的余弦值为．????????????????????????9分
10
(3)假设BC边上存在一点G满足题设条件，令BG＝x，则G(1，x，0)，作DQ⊥AG，则DQ⊥
????????????????????平面PAG，即DQ＝1．∵2S△ADG＝S矩形ABCD，∴|AG|?|DQ|?|AB||?AD|＝2∴|AG|＝2，又
AG＝x2+1，∴x＝3<2，
故存在点G，当BG＝3时，使点D到平面PAG的距离为1．??????????14分 19．解：⑴CC1∥BB1，又BB1⊥A1E，∴CC1⊥A1E，而CC1⊥A1F，∴CC1⊥平面A1EF，∴平面A1EF⊥平面B1BCC1????????????????????????4分
⑵作A1H⊥EF于H，则A1H⊥面B1BCC1，∴A1H为A1到面B1BCC1的距离，在△A1EF中，A1E1
＝A1F＝2，EF＝2，∴△A1EF为等腰Rt△且EF为斜边，∴A1H为斜边上中线，可得A1H＝EF
2＝1????????????????????????????9分
⑶作A1G⊥面ABC于G，连AG，则A1G就是A1到面ABC的距离，且AG是∠BAC的角平分线，A1G＝1????????????????????????????12分 cos45°631
∵cos∠A1AG＝＝，∴sin∠A1AG＝，∴A1A＝＝1??????14分
3cos30°33
320．解：（Ⅰ）如图所示： C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）
?SC?(2,0,?1),OB?(1,1,0)1010 ?cos?SC,OB???,??arccos555?22?????????????????????4分
（Ⅱ）①SB?(1,1,?1),CB?(?1,1,0)?n?SBC
??????????????n?SB,n?CB,?n?SB?1?p?q?0 ??????n?CB??1?p?0,解得:p?1,q?2,?n?(1,1,2)?????????????????????????????7分
②过O作OE?BC于E,则BC?面SOE，?SOE?SAB
又两面交于SE,过O作OH?SE于H,则OH?SBC,延长OA与CB交于F,则OF?2连FH,则?OFH为所求又OE?2,?SE?3
6SO?OE1?266?OH???,?sin??3?SE3263???arcsin6?????????????????10分6
③k的坐标为?1,?1,2?；OH?6 ??????????????14分． 321．以C为原点建立空间直角坐标系
（I）B(0，a，0)，N(a，0，a)，
∴|BN|?(a?0)2?(0?a)2?(a?0)2?3a．4分
（II）A1(a，0，2a)，C(0，0，0)，B1(0，a，2a)， ∴BA1＝(a，－a，2a)，CB1＝(0，a，2a)， ∴BACB1＝a30＋(－a)3a＋2a32a＝3a2，5分 1·
a2?(?a)2?(2a)2?|BA1|＝
∴cos〈BA1,CB1〉＝6a，|CB1|＝02?a2?(2a)2?5a，7分
BA1?CB1|BA1|?|CB1|?36?5?30．9分 10aaaa，，2a)，∴C1M＝(，，0)，A1B＝(－a，a，2a)， 2222aa∴A1B·C1M＝(－a)3＋a3＋2a30＝0，∴A1B⊥C1M，∴A1B⊥C1M．14分
22（III）C1(0，0，2a)，M(
高三数学2单元测试卷参考答案
第十单元 空间向量及运算
一、选择题 题号 1 答案 D 二、填空题
5
11．65 12．（－4，2，－4） 13．[1，5] 14．3 15．
6
2 A 3 B 4 C 5 D 6 A 7 D 8 B 9 C 10 D 三、解答题
16．解：∵b1∥a，∴令b1＝(λ，λ，0)，b2＝b－b1＝(1－λ，1－λ，1)，
又∵b2⊥a，∴a2b2＝(1，1，0)2(1－λ，1－λ，1)＝1－λ＋1－λ＝2－2λ＝0， ∴λ＝1，即b1＝(1，1，0)，b2＝(0，0，1)． 17．解：⑴过D作DE⊥BC于E，则DE＝CD2sin30°＝
311，OE＝OB－BDcos60°＝1－＝， 222
????3313
∴D的坐标为（0，－，），又∵C（0，1，0），∴CD?(0,?,) 2222⑵依题设有A点坐标为A(?????3133???,,0)，∴AD?(?,?1,),BC?(0,2,0) 2222????????????????AD?BC1010
???????则cos?AD,BC?????．故异面直线AD与BC所成角的余弦值为．
55|AD|?|BC|a?b2(a?b)2218．解：⑴∵|u|?|a?tb|?|a|?2(a?b)t?t|b|?|b|(t?， )?|a|?22|b||b|222222∴当t＝?a?b时，|u|＝|a＋tb|最小． 2|b|22⑵∵b?(a?tb)?a?b?t|b|?a?b?|b|(?a?b)?0?b?(a?tb)． |b|2????1????????????2????????19．解：∵BF?(BO?BC),OE?BA?BO，
23????21????2????2????????1????????7∴|BF|?(|BO|?|BC|?2BO?BC)?(4?1?2|BO||BC|cos60?)?,
444?????24????2????24????????????7???|BF|?;|OE|?|BA|?|BO|?BA?BO?4?4?4?4,|OE|?2.
293