北京师范大学附属实验中学2011－2012学年度初三第一学期期中试卷及答案
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19. 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，
底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：3≈1.732）
C30°B
过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G. ?????1分 CF30°DE60°ABDEG60°A
1
在Rt△BCF中，∠CBF=30°，∴CF=BC2sin30°= 303 =15??1分
2在Rt△ABG中，∠BAG=60°，∴BG=AB2sin60°= 403
3
= 203. 2
?????1分
∴CE=CF+FD+DE=15+203+2=17+203≈51.64≈51.6（cm）??2分 答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是51.6cm.
20. 如图，AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠OEB=∠ABC．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若OA=10，BC=16，求BE的长．
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CDAOBE
证明：⑴∵AB是半圆O的直径 ∴∠ACB=90°
∵OD∥AC ∴∠ODB=∠ACB=90° ∴∠BOD+∠ABC=90° 又∵∠OEB=∠ABC ∴∠BOD+∠OEB=90° ∴∠OBE=90° ∵AB是半圆O的直径 ∴BE是⊙O的切线??????2分
⑵在Rt?ABC中，AB=2OA=20，BC=16，∴AC?AB2?BC2?202?162?12
???1分
∴tanA?43BC164BE4?? ∴tan?BOE????????1分 AC123OB34313
∴BE?OB??10?13．???????????1分
21．抛物线y?ax2与直线y?x?3交于点A(1，b)． （1）求a，b的值；
（2）设直线y?x?3与抛物线y?ax2的另一个交点为B，与x轴的交点为C，求CA：CB的值．
（1） b=-2,a=-2;?????2分 （2） 39B(?,?),C(3,0),A(1,?2)????1分 22由相似可知， 4CA/CB?yA/yB? ????2分
9
22.如图，已知△ABC是面积为3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，开始时△ADE的AD、AE边分别与△ABC的AB、AC边叠合，现将△ADE绕点A按
逆时针方向旋转45°，AC与DE相交于点F。 （1）求△ABC的边长；
（2）求△AEF的面积（结果保留根号）.
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（1） 边长为2 ????2分
（2）在△AEF中，AE=1，∠E=60°，∠EAF=45°。
过F做FH⊥EA于H，设FH=x，则AH=x，EH=1-x,???1分 得
x?tan60??31?x3?33?3?x?,?S? ???2分 ?AEF24五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.已知函数y=mx－6x＋1（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； （2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． （3）在（2）的条件下，若有P(n,y1),Q(2,y2)两点在抛物线上,且y1?y2,求实数n
的取值范围. 解：⑴当x=0时，y?1．
所以不论m为何值，函数y?mx2?6x?1的图象经过y轴上的一个定点（0，1）．
??????2分
⑵①当m?0时，函数y??6x?1的图象与x轴只有一个交点；
②当m?0时，若函数y?mx2?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2?6x?1?0有两个相等的实数根，所以(?6)2?4m?0，m?9． 综上，若函数y?mx2?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．
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???????????2分
1（3）当x?时,y随x的增大而增大，??????????1分
31当n?时,?y1?y2,?n?2.
31221当n?时,P(n,y1)的对称点坐标为(?n,y1),且?n?,
3333244?y1?y2,??n?2,?n??. 综上所述:n?2或n??.????2分
333
24.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点B（12,0）和C（0，－6），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的解析式以及抛物线与x轴另一个交点A的坐标。
（2）点D在线段AB上，且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由． 解：（1）方法一：∵抛物线过点C（0，－6）
2
∴c＝－6，即y＝ax＋bx－6
?b??2,11由?解得：a?，b?? ?2a164?144a?12b?6?0?∴该抛物线的解析式为y?121x?x?6 164方法二：∵A、B关于x＝2对称 ∴A（－8，0） 设y＝a(x＋8)(x－12)
C在抛物线上，∴－6＝a383(?12)，即a＝
y?1∴该抛物线解析式为：16121x?x?6??????????????2分 164（2）存在，设直线CD垂直平分PQ，在Rt△AOC中，AC＝82?62＝10＝AD∴点D在抛物线的对称轴上，连结DQ，如图：显然∠PDC＝∠QDC，由已知∠PDC＝∠ACD
∴∠QDC＝∠ACD，∴DQ∥AC DB＝AB－AD＝20－10＝10∴DQ为△ABC的中位线
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∴DQ＝AC＝5 AP＝AD－PD＝AD－DQ＝10－5＝5∴t＝5÷1＝5（秒）∴存在
12t＝5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分在Rt△BOC中，BC＝62?122＝65∴CQ＝35∴点Q的运动速度为每秒35单位长度．???2分 5（3）存在．如图，
过点Q作QH⊥x轴于H，则QH＝3，PH＝9在Rt△PQH中，PQ＝92?32＝310 ①当MP＝MQ，即M为顶点， 设直线CD的直线方程为y＝kx＋b（k≠0），则：
??6?b?k?3，解得：∴y＝3x－6 ??b??60?2k?b??PAEFM1M2yM4ODHBQx当x＝1时，y＝－3∴M1(1，－3)
②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点，设直线x＝1上存在点M（1，y），由勾股定理得：4＋y＝90，即y＝±74 ∴M2（1，74）；M3（1，－74）
2
2
CM3M5③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点．过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x＝1于F，则F（1，－3）
设直线x＝1存在点M（1，y）由勾股定理得：(y?3)2?52?90，即y＝－3±65 ∴M4（1，－3＋65）；M5（1，－3－65）综上所述，存在这样的五个点：
M1(1，－3)；M2（1，74）；M3（1，－74）；M4（1，－3＋65）；M5（1，－3－65） ????3分（5个全对得3分，对3或4个得2分，对1或2个得1分）
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