（1）求双曲线的方程；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足
，证明点H恒在一条定直线上．
23．（2015秋?丹阳市期中）椭圆
2
2
=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点F到右准线l
的距离为10，圆G：（x﹣1）+y=1． （1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上任意一点，过点P作圆G的切线，切点为Q，过点P作右准线l的垂线，垂足为H，求
的取值范围；
（3）是否存在以椭圆上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）都满足
？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理
由．
24．（2015秋?行唐县校级月考）已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的右顶点，上顶点分别
为M、N，过其左焦点F作直线l垂直于x轴，且与椭圆在第二象限交于点P，=λ
（1）求证：a=；
（2）若椭圆的弦AB过点E（2，0）并与坐标轴不垂直，设点A关于x轴的对称点A，直线A1B与x轴交于点R（5，0），求椭圆C的方程． 25．（2015秋?河南月考）已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0），椭圆E的右焦点到直线l：x
﹣y+1=0的距离为．椭圆E的右顶点到右焦点与直线x=2的距离之比为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l与椭圆E交于M，N两点，l与x轴，y轴分别交于C，D两点，记MN的中点为G，且C，D两点到直线OG的距离相等，当△OMN的面积最大时，求△OCD的面积．
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26．（2014?漳州校级模拟）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知|数列，且
与
同向．
|、|
|、|
|成等差
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 27．（2014?惠州模拟）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3． （1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．
28．（2014?大庆一模）已知椭圆
（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，
椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求
的取值范围．
29．（2014?宜昌模拟）已知点A，B的坐标分别是（0，﹣1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积﹣．
（1）求点M轨迹C的方程；
（2）若过点D（2，0）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），试求△ODE与△ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）． 30．（2014秋?武侯区校级月考）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆上的
2
点到焦点的距离的最小值为2﹣，其离心率e是方程2x﹣3x+3=0的根． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）（2）若椭圆C长轴的左右端点分别为A1，A2，设直线x=4与x轴交于点D，动点M是直线x=4上异于点D的任意一点，直线A1M，A2M与椭圆C交于P，Q两点，问直线PQ是否恒过定点？若是，求出定点；若不是，请说明理由．
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高中数学组卷圆锥曲线方程5
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题） 1．（2012?焦作一模）已知椭圆为F1、F2，点
（1）求椭圆C的方程；
=1（a＞b＞0）的离心率e=
，左、右焦点分别
，点F2在线段PF1的中垂线上．
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标． 【分析】（1）根据椭圆的离心率求得a和c的关系，进而根据椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）又点F2在线段PF1的中垂线上推断|F1F2|=|PF2|，进而求得c，则a和b可得，进而求得椭圆的标准方程．
（2）设直线MN方程为y=kx+m，与椭圆方程联立消去y，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理可表示出x1+x2和x1x2，表示出直线F2M和F2N的斜率，由α+β=π可推断两直线斜率之和为0，把x1+x2和x1x2代入即可求得k和m的关系，代入直线方程进而可求得直线过定点．
【解答】解：（1）由椭圆C的离心率
得
，其中
，
椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）又点F2在线段PF1的中垂线上 ∴|F1F2|=|PF2|，∴∴
．
解得c=1，a=2，b=1，
2
2
（2）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y=kx+m．由
2
2
2
消去y，得（2k+1）x+4kmx+2m﹣2=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），
222
则△=（4km）﹣4（2k+1）（2m﹣2）≥0
22
即2k﹣m+1≥0 则
，且
由已知α+β=π，得
化简，得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0 ∴
．
整理得m=﹣2k．
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∴直线MN的方程为y=k（x﹣2），因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0） 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程．考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力．
2．（2012?宣威市校级模拟）如图，设△OEP的面积为S，已知（1）若（2）若S=|
，求向量|，且|
与
的夹角θ的取值范围；
|取最小值时，建立适当的直角坐标系，求以O为中心，
=1．
|≥2，当|
F为一个焦点且经过点P的椭圆方程．
【分析】（Ⅰ）令 ∵
，∴
，由题设知 ，由此可求出
，
的范围．．
，
（Ⅱ）以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，并令Q（m，n），则F（c，0），由题设知
.
，
．由此知
取最小值时，能够求出椭圆的方程．
，由此入手，当
【解答】解：（Ⅰ）令 ∵∵∴
，∵
，∴．
，∴
=， ，∴
， ，
，
∵θ∈[0，π]，∴
（Ⅱ）以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，并令Q（m，n），则F（c，0），
且 ，∴．
∵，
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∴∴∴∵c≥2， ∴当c=2时，
，∴
．
． ，
最小，此时Q（ ），
设椭圆方程为 ，
∴，
∴a=10，b=6． ∴所求椭圆为
．
22
【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方
法．
3．（2012?分宜县校级一模）已知椭圆的两个焦点
，
且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形． （I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使【分析】（I） 由题意得到 c=
恒为定值，求m的值． ，tan30°=
=，可得b、a值，即得椭圆的方程．
（Ⅱ）用点斜式设出直线l的方程，代入椭圆的方程化简，得到根与系数的关系，代入 的解析式化简得
恒为定值，故有
【解答】解：（I）由题意可得 c=
，tan30°=
，从而解出m值．
=，∴b=1，∴a=2，
故椭圆的方程为 ．
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