【点评】本题考查椭圆的简单性质，余弦定理的应用，考查计算能力．
20．（2012秋?聊城校级期末）已知椭圆
（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线
段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）．证明
．
【分析】设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|．把点P坐标代入，同时把A、B代入椭圆方程，最后联立方程即可得到x0关于x1和x2的关系式，最后根据x1和x2的范围确定x0的范围．
【解答】证明：设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|，即
2222
（x1﹣x0）+y1=（x2﹣x0）+y2① ∵A、B在椭圆上， ∴
，
．
将上式代入①，得 2（x2﹣x1）x0=
②
∵x1≠x2，可得
∵﹣a≤x1≤a，﹣a≤x2≤a，且x1≠x2， ∴﹣2a＜x1+x2＜2a， ∴
．
．③
【点评】本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．
21．（2015秋?太原校级期末）已知双曲线E：
﹣
=1 （a＞0，b＞0），其中斜率为
的
直线与其一条渐近线平行． （1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足
=λ
+
，求λ的值．
a，由a，b，c的关系和离心率
【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，由题意可得b=公式，计算即可得到所求值；
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（2）根据过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线，写出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，及A，B，C为双曲线上的点，注意整体代换，并代足
=λ
+﹣
，即可求得λ的值．
=1的渐近线方程为y=±x，
【解答】解：（1）双曲线E：
由斜率为=c=可得e==
的直线与其一条渐近线平行，可得
a， a， ；
2
2
2
，即b=
=
（2）由（1）可得双曲线的方程为x﹣5y=5b， 联立
，得4x﹣10cx+35b=0，
2
2
设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2=c，x1?x2=设即
=（x3，y3），
=λ，
2
2
2
， +
，
又C为双曲线上一点，即x3﹣5y3=5b，
222
有（λx1+x2）﹣5（λy1+y2）=5b，
222222
化简得：λ（x1﹣5y1）+（x2﹣5y2）+2λ（x1x2﹣5y1y2）=5b， 又A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，
222222
所以x1﹣5y1=5b，x2﹣5y2=5b， 而x1x2﹣5y1y2=x1x2﹣5（x1﹣c）（x2﹣c） =﹣4x1x2+5c（x1+x2）﹣5c=﹣4?=
2
2
+5c?
2
﹣5c
2
﹣35b=
2
?6b﹣35b=10b，
22
得λ+4λ=0， 解得λ=0或﹣4．
【点评】此题是个难题．本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（2）考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
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22．（2015秋?东莞市期末）已知双曲线E：的中心为原点O，
左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，且过点M（5，），又P点是直线x=点，点Q在双曲线E上，且满足
=0．
上任意一
（1）求双曲线的方程；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足
，证明点H恒在一条定直线上．
【分析】（1）由离心率公式和点满足双曲线的方程，结合双曲线的a，b，c的关系，即可求得a，b，进而得到双曲线的方程； （2）设出P（
，t），Q（x0，y0），代入双曲线的方程，再由
=0，得到方程，
再由直线的斜率公式，得到直线PQ与直线OQ的斜率之积，化简整理，运用代入，即可得到定值
；
，1）的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M（x1，
2
2
2
（3）设点H（x，y），且过点（
2
2
y1），N（x2，y2），则9x1﹣16y1=144，9x2﹣16y2=144，即y1=﹣16），设上．
【解答】解：（1）双曲线E：
﹣
=1（a＞0），c=a+b，
2
2
2
（x1﹣16），y2=
22
（x2
2
==λ，求出坐标之间的关系，化简可得点H恒在定直线9x﹣5y﹣45=0
由于离心率为，即e==，
即有=，
M（5，）代入双曲线的方程可得解得a=4，b=3，c=5， 即有双曲线的方程为
﹣
=1；
﹣=1，
（2）证明：由于点P是直线x=可设P（
，t），
=上任意一点，
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再由Q为双曲线﹣
=1一点，可设Q（x0，y0），
则﹣
=1，即y0=
2
（x0﹣16）．
2
由F2（5，0）， 则
?
=（5﹣
，﹣t）?（5﹣x0，﹣y0）=0，
即有9﹣x0+ty0=0，即有ty0=﹣9+x0，
则kPQ?kOQ=
?=
==，
则直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值（3）证明：设点H（x，y）， 且过点P（
2
；
，1）的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），
2
2
2
则9x1﹣16y1=144，9x2﹣16y2=144， 即y1=设
=
2
（x1﹣16），y2=
=λ，
22
（x2﹣16），⑥⑦
2
则．
即，
整理，得
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由①×③，②×④得，
将y1=
2
（x1﹣16），y2=
22
（x2﹣16），代入⑥，
2
得y=×﹣9 ⑦
将⑤代入⑦，得y=x﹣9．
所以点H恒在定直线9x﹣5y﹣45=0上．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查平面向量的数量积的坐标公式，考查直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．
23．（2015秋?丹阳市期中）椭圆
2
2
=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点F到右准线l
的距离为10，圆G：（x﹣1）+y=1． （1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上任意一点，过点P作圆G的切线，切点为Q，过点P作右准线l的垂线，垂足为H，求
的取值范围；
（3）是否存在以椭圆上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）都满足
？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理
由．
【分析】（1）由题意可得，解方程组得到a，c的值，结合隐含条件求得b，则
椭圆方程可求；
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