【答案】（1）该抛物线的解析式为：y=-x-3x+4；（2）在该抛物线的对称轴上存在点Q（，），使得△QAC的周长最小；（3）当m=-1时（在-1-积S最大 【解析】
试题分析：（1）A，B的坐标代入抛物线y=-x+bx+c确定解析式． （2）A，B关于对称轴对称，BC与对称轴的交点就是点Q． （3）四边形BNCM的面积等于△MNB面积+△MNC的面积．
试题解析：（1）∵抛物线y=-x+bx+c与x轴交于A（1，O），B（-4，0）两点， 将A、B两点坐标代入抛物线方程，得到：-1+b+c=0，-16-4b+c=0 解得：b=-3，c=4
所以，该抛物线的解析式为：y=-x-3x+4； （2）存在
∵由前面的计算可以得到，C（0，4），且抛物线的对称轴为直线x=- ∴由抛物线的对称性，点A、B关于直线x=-对称， ∴当QC+QA最小时，△QAC的周长就最小 ∴当点Q在直线BC上时QC+QA最小，（1分） 此时：直线BC的解析式为y=x+4， 当x=时，y=
，
），使得△QAC的周长最小；
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＜m＜0内），四边形BNCM的面
∴在该抛物线的对称轴上存在点Q（，
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（3）由题意，M（m，-m-3m+4），N（m，-m） ∴线段MN=-m-3m+4-（-m）=-m-2m+4=-（m+1）+5 ∵S四边形BNCM=S△BMN+S△CMN=0．5MN×BO=2MN=-2（m+1）+10
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∴当m=-1时（在-1-＜m＜0内），四边形BNCM的面积S最大．
考点：二次函数综合题．